Системы линейных уравнений, методы их решения.

Матрицы и определители

                                                     1. 1 Матрицы. Понятия.

Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей mстрок и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

A =                         (4.1)

или сокращенно в виде A = (a_ij) (i = ; j = ). Числа a_ij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_ij = b_ij.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m x n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_ii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой  Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу

A^T = ,

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

                       1.2. Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Прежде всего, договоримся считать матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц: Суммой двух матриц, например: A и B, имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( Сij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n ) тех же порядков m и n, элементы Cij которой равны.  

    Cij = Aij + Bij ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n )          ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем :

+     =                                                  

                      =

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно :

1)  переместительным свойством : A + B = B + A

2)  сочетательным свойством : (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ) на вещественное число   называется матрица C = (Cij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n ), элементы которой равны

    Cij = Aij   ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ).         (1.3)

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами :

1)  распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2)  сочетательным свойством относительно числового множителя:

 ( ) A = ( A)

3)  распределительным свойством относительно суммы чисел :

 (  + ) A = A + A.

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись : C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n ), имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу B = (Bij) ( i = 1, 2, …, n; 

j = 1, 2, …, p ), имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица C = (Сij) ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p ), имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы Cij, определяемые формулой

    Cij =           ( i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p )      (1.4)

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы C,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B. Это правило можно сформулировать и словесно : Элемент Cij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

 =

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1)  сочетательное свойство : (AB) C = A (BC);

2)  распределительное относительно суммы матриц свойство :

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

         A =  , B =  , то AB =  , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n-ого порядка и обозначается символом E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n-ого порядка и обозначается символом O. Допустим, что существует произвольная матрица A, тогда

AE = EA = A, AO = OA = O.

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство : A + O = O + A = A. Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

                                                    1.3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу (4.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

0 ≤ r(A) ≤ min (m,n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так:

                                              A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале

главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых

может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю,

например, .

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

A = .

Обозначим Δ = det A.

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если Δ = 0.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1. Обратная матрица вычисляется по формуле

А^-1 = 1/Δ , (4.5)

где А_ij - алгебраические дополнения элементов a_ij.

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

                                                 2. Определители

Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы, детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом).

Определение.Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число, равное единственному элементу этой матрицы: A={a}, detA=|A|=a.

Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:

Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное

где  — определитель квадратной матрицы полученной из матрицы A вычеркиванием превой строки и j-го столбца.

Для определителей 2-го и 3-го порядка легко получить простые выражения через элементы матрицы.

Определитель 2-го порядка:

.

Определитель 3-го порядка:

.

2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента

Определение.Минором элемента матрицы называется определитель матрицы, полученной вычеркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент. Обозначаем: минор элемента a_ij —  .

Определение.Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, умноженный на -1 в степени, равной сумме номеров строки и столбца, в которых расположен элемент. Обозначаем: алгебраическое дополнение элемента a_ij —  .

Таким образом можно переформулировать определение определителя n-го порядка:

определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Пример.

Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке

Теорема.Определитель n-го порядка, n>1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример.Вычислим определитель из предыдущего примера разложением по второй строке:

Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. (Доказать самостоятельно).

Свойства определителей

Для определителей справедливы следующие утверждения, называемые свойствами определителей.

1. Определитель не изменяется при транспонировании: detA^T=detA.

2. Если строка (столбец) матрицы A равна линейной комбинации соответственных строк (столбцов) матриц A и B, а остальные строки (столбцы) этих матриц совпадают, то ее определитель равен линейной комбинации определителей матриц A и B:

A_i = a·B_i + b·C_i, detA = a·detB + b·detC,

A^(j) = a·B^(j) + b·C^(j), detA = a·detB + b·detC .

3. При перестанровке любых двух строк (столбцов), определитель меняет знак.

4. Если в определителе есть две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то он равен нулю.

5. Если в определителе есть две пропорциональные строки (два пропорциональные столбца), то он равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

7. Определитель, содержащий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю.

8. Сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

9. Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя.

Пример.  поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны.

Виды матриц. Ранг матрицы

Любая таблица, состоящая из чисел, записанных в определенном порядке, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m×n; число a_ij – элемент матрицы.

Способы задания матриц:

А_1×n – матрица-строка

А_1×m – матрица-столбец

Матрица, все элементы которой – нули – нулевая матрица.

Если m≠n, матрица – прямоугольная;

если m>n, матрица – укороченная;

если m<n, матрица – удлиненная;

если m=n, матрица – квадратная.

|A| – определитель матрицы.

Размерность квадратной матрицы называется ее порядком.

Если определитель квадратной матрицы ≠ 0, то такая матрица – невырожденная (неособенная);

Если определитель квадратной матрицы = 0, то такая матрица – вырожденная (особенная).

Квадратная матрица вида

где а₁₁, а₂₂, … , а_nn – элементы , распределенные по главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица, все элементы которой по главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей (E_n).

Любое число можно считать матрицей первого порядка.

Если у матрицы переставить местами столбцы со строками, то такая операция называется транспонированием матрицы.

А^т – транспонированная матрица.

|А| = |А^т| (если А – квадратная)

(А^т)^т = А

Квадратная матрица называется симметрической, если А = А^т , т.е. a_ij = a_ji для любых i и j.

Элементы симметрической матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.

Квадратная матрица называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов.

 Рассмотрим матрицу А = (a_ij), i = 1, m ; j = 1, n.

Из этой матрицы можно образовать квадратные матрицы. Определители таких матриц называют минорами данной матрицы. Порядок этих миноров не превышает min(m, n).

Пример:

Для матрицы А_5×4 наибольший порядок минора ≤ 4.

 – квадратная матрица 3 порядка:

9 миноров 1 порядка;

9 миноров 2 порядка;

1 минор 3 порядка;

Рангом матрицы называется максимальный порядок миноров матрицы, отличных от нуля.

Если ранг матрицы r(A) = r, то по крайней мере один из миноров этой матрицы порядка r отличен от нуля, и все миноры более высоки порядков (если они существуют) равны 0.

Ранг матрицы можно вычислить следующими методами:

1) Метод окаймляющих миноров

2) Метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы

Рассмотрим первый метод.

r(A) может принимать значения 1, 2, 3.

Выбираем минор первого порядка:

М₁ = -3

Составляем М₂, окаймляющий М₁ ≠ 0

 = 21 ≠ 0

=> r(A) = 2 или 3.

Составляем М₃, окаймляющий М₂ ≠ 0

 ≠ 0

=> r(A) = 3

Базисным минором матрицы называется минор, не равный нулю, порядок которого равен рангу данной матрицы.

называется трапецеидальной.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно превратить в трапецеидальную. Ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк.

Т.к. элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга, то для отыскания ранга любой матрицы нужно:

1) Преобразовать данную матрицу в трапецеидальную;

2) Подсчитать число ненулевых строк

3) Ранг трапецеидальной матрицы будет равен рангу данной матрицы.

Системы линейных уравнений, методы их решения.

Основные понятия

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

        (1)                                                  

x_j – неизвестное системы;

a_ij – коэффициент при неизвестном;

j = 1, n;

i = 1,m;

b_i – свободный член; i = 1, m.

Рассмотрим различные формы записи системы (1):

а) Краткая запись

                                                                                             (1`)

б) Матричная форма записи

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

– основная матрица системы (1).

Составим матрицу-столбец неизвестных системы

и матрицу-столбец свободных членов

Тогда матричная форма записи системы (1) имеет вид:

А ∙ Х = В

в) Векторная форма записи (1``)

Рассмотрим следующие векторы-столбцы системы (1) вида:

Х = (x₁, x₂, x₃, … , x_n) – n переменных.

Составим линейную комбинацию векторов условий вида:

А₁ ∙ х₁ + А₂ ∙ х₂ + … + А_n ∙ х_n

где х₁, х₂, … , х_n коэффициенты системы (1).

Линейная комбинация векторов – новый вектор, т.е. система (1) в векторной форме имеет вид:

А₁ ∙ х₁ + А₂ ∙ х₂ + … + А_n ∙ х_n =  (1```)

Решить систему линейных уравнений значит найти ее решения, или убедиться, что их нет.

Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется такой вектор
(α₁; α₂; … ; α_n), координаты которого обращают в тождество каждое уравнение системы, если в каждое уравнение системы подставить вместо

Х₁ – α₁, Х₂ – α₂, … , Х_n – α_n.

Система уравнений называется совместной, если существует хотя бы одно решение (одно или ∞).

СЛУ называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совокупная система уравнений может иметь одно решение ( совместная и определенная) или бесконечное множество решений (совместная и неопределенная). Случай, когда решений конечное множество невозможен.

Две системы называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Методы решения СЛУ

10.2.1 Решение системы с помощью обратной матрицы

Этот метод может быть применен для решения систем когда m = n. В этом случае основная матрица системы А – квадратичная порядка n.

Если при этом определитель |А| ≠ 0, т.е. квадратная матрица А – невырожденная, то она имеет единственную обратную матрицу.

Рассмотрим систему вида (1), записанную в матричной форме:

А ∙ Х = В

А^-1 ∙ А ∙ Х = А^-1 ∙ В

Е ∙ Х = А^-1 ∙ В

Х = А^-1 ∙ В

Х = (α₁; α₂; … ; α_n) – вектора решения

х₁ = α₁

х₁ = α₁

. . . . . .

х_n = α_n

10.2.2 Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.

Применяется при условии m = n.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, у которой n уравнений и n неизвестных. Такой определитель называют основным определителем системы.

Составим вспомогательные определители для данной системы следующим образом:

Δ₁ – определитель, который получается из основного определителя заменой его первого столбца столбцом свободных членов системы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Неизвестные данной системы можно найти по формуле Крамера:

; ; … ; .

1) Если основной определитель системы отличен от нуля, то такая система уравнений имеет единственное решение – она совместна и определенна, и это решения находят по формуле Крамера;

2) Если основной определитель системы равен нулю, то система уравнений может быть совместной неопределенной (∞ решений) или несовместной (не имеет решений):

а) Если основной определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю, то система уравнений имеет ∞ решений;

б) Если основной определитель системы равен нулю и хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то система – несовместна.

Рассмотрим случай 2 а, т.е. Δ = 0; Δ₁, Δ₂, … , Δ_n = 0.

Тогда исключают одно из уравнений данной системы (оно является следствием других уравнений системы). Затем выделяют основные переменные (базисные) и свободные переменные, которые могут принимать любые значения из множества действительных чисел.

Если какие-то векторы полученной системы будут линейно независимыми, значит они образуют базис, а следовательно переменные при этих векторах также будут базисными.

Набор переменных, входящих в базис, может быть разным, а количество базисных переменных в каждом наборе – одно и то же.

Иначе за базисные переменные можно принять такие переменные, при которых определитель, составленный из коэффициентов при данных переменных, отличен от нуля.

После того, как выбраны базисные переменные, их выражают в рассматриваемой системе через свободные переменные. Полученная при этом СЛУ и будет являться общим решением исходной системы.

Если свободным переменным придавать любые значения из множества действительных чисел, то будем получать частные решения исходной системы в виде векторов, и таких векторов будет бесконечное множество.

Базисным решением исходной таблицы будет являться вектор, у которого все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные равны свободным членам системы общего решения.

Базисное решение называется допустимым, если все координаты вектора базисного решения не отрицательны.

10.2.3 Решение СЛУ методом последовательного исключения переменных.

Этот метод основан на применении элементарных преобразований над системой уравнений, которые преобразуют данную систему уравнений в эквивалентную ей.

Различают два метода исключения переменных: метод Гаусса и метод Жордана – Гаусса (метод полного исключения переменных). Это универсальные методы решения систем линейных уравнений, т.к. их можно применять для решения систем в случае когда m = n и m ≠ n.

Рассмотрим метод Жордана – Гаусса.

Этот метод состоит из нескольких шагов (итераций), которые позволяют за конечное число операций сделать вывод о существовании решения данной системы или о том, что решений нет.

На каждом шаге исключается одна из переменных, которая называется ведущей. Ведущая переменная остается в одном из уравнений, которое также называется ведущим (ключевым). Из оставшихся уравнений ведущая переменная исключается с помощью элементарных преобразований.

Процесс исключения переменных производится с помощью таблиц Гаусса. Таблицей Гаусса обычно называют расширенную матрицу данной системы вида:

На основании элементарных преобразований над строками расширенной матрицы системы m линейных уравнений с n неизвестными, сформируем правила исключения переменных:

1) Выбираем ведущий элемент,то-есть ведущую строку, ведущий столбец.

Каждый элемент ведущей строки делим на ведущий элемент, и результат записываем в такую же по номеру строку новой (эквивалентной) матрицы;

2) Ведущий столбец в эквивалентной матрице превращается в единичный вектор;

3) Если в ведущей строке есть нули, то соответствующие столбцы переписываются без изменения;

4) Если в ведущем столбце есть нули, то соответствующие строки переписываются без изменения;

5) все остальные элементы эквивалентной матрицы находятся по правилу прямоугольника:

где    a_ij – соответствующий элемент первой таблицы;

a`_ij – новый элемент эквивалентной таблицы;

a* –разрешающий  элемент расширенной матрицы;

A – элемент расширенной матрицы, стоящий в ведущей строке;

B – элемент расширенной матрицы, стоящий в ведущем столбце.

6) Все предыдущие пункты повторяются шаг за шагом, пока:

а) либо основная матрица системы будет состоять из единичных векторов (СЛУ имеет единственное решение, она совместна и определенна);

б) либо на некотором шаге преобразованной матрицы в одной из строк все элементы превратятся в нули, и при этом не встретится строка вида:

 (0 0 0 … 0 b), b ≠ 0, (*)

то строку из нулей вычеркивают, и система будет иметь бесконечное множество решений (она будет совместна и неопределенна).

В этом случае выделяют базисные и свободные переменные. Базисные переменные выражают через свободные, получают общее решение исходной системы, из которого можно получить бесконечное множество частных решений.

Базисное- это такие решение, когда все свободные переменные равны нулю, а базисные переменные принимают значения любых действительных чисел.

Если компоненты вектора базисного решения не отрицательны, то это базисное решение будет допустимым базисным решением (опорным решением данной системы).

в) либо на некотором шаге получим строку вида (*), тогда решение системы заканчивается, говорят, что система не совместна, не имеет решений.

Пример:

Решить СЛУ:

Применим метод Жордана – Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:

0 = -22 – неверно, следовательно система не совместна, не имеет решений.