Исследование СЛУ по теореме Кронекера – Капелли.

Эта теорема дает возможность до решения СЛУ выяснить, имеет ли она решения вообще, или не имеет; а если имеет, то сколько (1 или ∞).

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными.

А ∙ Х = В

где А – основная матрица системы;

   Х – матрица-столбец неизвестных;

   В – матрица-столбец из неизвестных членов.

(А В) – расширенная матрица системы.

Если ранг основной матрицы системы совпадает с расширенной матрицы системы, то говорят, что система уравнений имеет ранг, т.е. rang(А) = rang(А В) = r.

Теорема о существовании решений СЛУ:

Если ранг основной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы, то такая матрица совместна, причем:

1) Если r = n (количество неизвестных), то система имеет единственное решение, она совместно и определенна;

2) Если r < n то система совместна и неопределенна (∞ решений);

3) Случай r > n невозможен.

Если система уравнений не имеет ранга, то она несовместна.

Теорема:Если система совместна и ее ранг равен r, тогда число уравнений, остающихся в системе после преобразований методом исключения переменных, также равно r, а числа свободных неизвестных – n - r.

Система линейных однородных уравнений