Геометрический метод решения системы линейных неравенств с двумя переменными

Совокупность линейных неравенств с общими неизвестными называется системой линейных неравенств.

Неравенства могут быть одного смысла (≤ или ≥) или разного.

Множество решений, которое удовлетворяет каждому неравенству системы, называется решением системы неравенств.

Системы неравенств, имеющие хотя бы одно решение, называются совместными.

Если системы неравенств не имеют решений, то они – несовместные.

Если система m неравенств с двумя переменными совместна, то множеством решений такой системы является выпуклый многоугольник или выпуклая многоугольная область (неограниченная).

Множеством решений системы линейных неравенств с двумя переменными может быть:

1) Точка;

2) Пустое множество;

3) Выпуклый многоугольник;

4) Выпуклая неограниченная область.

Пример:

Построить область решений системы линейных неравенств:

1)

 – прямая l₁

x₁ = 0; x₂ = 5

x₂ = 0; x₁ = -10/5

О(0;0) ≤ 10 – верно

2)

 – прямая l₂

x₁ = 0; x₂ = 6,2

x₂ = 0; x₁ = 14

О(0;0) ≤ 56 – верно

3)

 – прямая l₃

x₁ = 0; x₂ = 4/3

x₂ = 0; x₁ = 0,8

О(0;0) ≥ 4 – неверно

Точки пересечения:

10х₂ = 86

х₂ = 8,6

-3х₁ = 7,2

х₁ = 2,4

(2,4; 8,6)

Прямая линия на плоскости.

1.1. Уравнение линии на плоскости.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами.

    Прямоугольная декартова система координат на плоскости представляет из себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и направлениями. Такие прямые называются координатными осями - осью абсцисс Ох и осью ординат Оy.

Пусть на плоскости заданы декартова прямоугольная система координат и некоторая линия L. Рассмотрим уравнение F(x,y)=0 (или y=j(x)), связывающее две переменные величины x и y. Это уравнение называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если 1) ему удовлетворяют координаты (x,y) любой точки линии L и 2) ему не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на линии L.

1.2. Различные виды уравнения прямой.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени с двумя переменными и обратно: каждое уравнение первой степени

Ax + By + C = 0                                             (1)

(где А и В не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Возможны следующие случаи:

1) С = 0, уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) В = 0 (А ¹ 0), уравнение принимает вид Ax + C = 0 или x =  - прямая, параллельная оси Oy (в частности,  x = 0 - уравнение самой оси Oy);

3) А = 0 (В ¹ 0), уравнение принимает вид Вy + C = 0 или y =   - прямая, параллельная оси Ox (в частности,  y = 0 - уравнение самой оси Ox).

прямой с осью Oy. При y = 0 значение x = -4 и N(-4,0) - точка пересечения прямой с осью Ox. Осталось провести прямую через точки М и N (рис. 1). ■

Если ни один из коэффициентов уравнения (1) не равен нулю, то его можно преобразовать к виду

,                                                 (2)

где a =  и b =   есть величины отрезков, которые отсекает прямая на координатных осях. Уравнение (2) называется уравнением прямой «в отрезках». Эта форма уравнения прямой особенно удобна для построения прямой на чертеже. Так, в предыдущем примере, после записи уравнения прямой в виде , легко определить координаты точек М и N.

    Рассмотрим на плоскости xOy прямую, не параллельную оси Oy; при движении вдоль такой прямой в одном направлении x возрастает, а в другом убывает. Направление, отвечающее возрастанию x, назовем положительным. Угол a, на который надо повернуть положительную полуось Оx, чтобы совместить ее с положительным направлением данной прямой, называют углом наклона прямой к оси абсцисс. При этом угол наклона считается положительным, если положительную полуось Оx надо поворачивать против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае, так что < a < . Можно считать, что для прямой, параллельной оси Оy, угол наклона a  = .

Угловым коэффициентом прямой k называется тангенс угла наклона прямой к оси Оx:

k = .

Замечание. Прямая, параллельная оси Оy, не имеет углового коэффициента, т.к.  не существует; или можно считать, что ее угловой коэффициент равен бесконечности, т.к. при a ®    ® ¥.

 Если прямая не параллельна оси Оy, то ее уравнение можно записать в виде

y = kx+b.                                              (3)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент; b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оy, считая от начала координат. В частном случае, при b = 0 прямая y = kx проходит через начало координат.

Из общего уравнения прямой (1) при В¹0 можно получить уравнение y = , т.е. уравнение прямой с угловым коэффициентом k = .

Пример 2. Найти угол наклона к оси Оx прямой, заданной общим уравнением 2x + 5y + 17= 0.

Решение. Выразим из данного уравнения y. Получим уравнение прямой с угловым коэффициентом y = . Откуда, k =  = -0,4, так что = -0,4. Искомый угол a = . ■

Рассмотрим далее решение некоторых типовых задач.