Шаг 2. Решается задача квадратической минимизации

.

Шаг 3. На каждом итерационном шаге находится вектор направления убывания  функции .

              ,        (3.47)

где малая величина  выбирается особым образом и зависит от линейного размера i-го ребра «гиперкуба».

Находим точку  пересечения вектора  и границ данной ячейки оптимизации. На отрезке  модифицированным методом «золотого сечения» производим поиск минимального значения функции .

Шаг 4. Полученную точку принимаем за начальную , и процесс повторяется с самого начала до тех пор, пока либо координаты точки совпадут с координатами, полученными на предыдущем этапе, и это будет решение, либо минимум окажется на границе, и мы переходим к следующей ячейке сетки.

Таким способом удается достаточно точно выявить множество решений.

Рис. 3.2. Область локальной оптимизации

Этап 3. Проводится анализ полученного множества и на основе СТЭК выявляются равновесные решения, обладающие преимуществами по всем показателям.

Для СТЭК-3 этап 3 состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Попарное сравнение всех решений и отбрасывание тех, чьи значения хуже по всем показателям (доминируемые точки).

Шаг 2. Формирование «идеальной точки»  (см. рис. 3.1)

                            ,                       (3.48)

которая представляет собой вершину прямоугольной m-мерной пирамиды, образованной пересечением m плоскостей, перпендикулярных осям координат и проходящими через минимальные значения показателей (см. рис. 3.4).

Рис. 3.3. Формирование идеальной точки и проекций

Шаг 3. Выбор из прореженного множества решений  (доминирующих точек) точки, наиболее близкой к «идеальной», т.е. удовлетворяющей условию

                                    .                               (3.49)

Этап 4. Формирование проекции типа (рис 3.3б). Формирование оптимальных ПКЗУ ММС. Моделирование оптимальных траекторий ММС.

Блок-схема алгоритмической процедуры метода дана на рис. 3.4, 3.5.

Программное обеспечение алгоритма реализовано в рамках ПС MATLAB. Программы, программные модули даны в [45]. Применение данного подхода в задаче группового перехвата цели с учетом противодействия рассмотрено в [45] и в следующем пункте 3.4.

Повышение быстродействия алгоритма.В соответствии с рис. 3.5 для увеличения быстродействия алгоритма применены аппроксимация описания ММС, минимаксный подход для уменьшения области начальных условий и оценивается возможность параллельной реализации этапа 2 алгоритма (см. пункт 3.5).

Рис. 3.4. Блок-схема алгоритма управления на основе векторного равновесия
с элементами анализа результатов

Рис. 3.5. Блок-схема алгоритма поиска векторного равновесия
с данным начальным приближением (этап 2)

3.4. Решение задачи коалиционного перехвата подвижной цели
с учетом противодействия на этапе ближнего наведения ЛА

3.4.1. Математическая модель ММС

С учетом приведенного выше формального описания модели ММС составим математическую модель перехвата высокоманевренными ЛА подвижной цели.

Динамическая модель ММС.Движение центров масс (ЦМ) ЛА описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в нормальной земной системе координат (СК) 0_ДX_ДY_ДZ_Д:

                                                                            (3.50)

где [X_Дi, Y_Дi, Z_Дi], (i = 1…3) – координаты ЦМ ЛА; V_i – скорость ЛА;
Q_i – угол наклона траектории полета ЛА; Y_i – угол поворота траектории.

Далее будем предполагать, что каждый из ЛА движется без скольжения (b_i = 0) и величины скоростей не меняются в течении всего времени взаимодействия коалиций (|V_i| = const).

Вектор состояния системы имеет вид:

                   ,             (3.51)

где X_K, Y_K, Z_K – координаты центра коалиции истребителей-перехватчиков (ИП):

В качестве вектора наблюдаемого выхода будем рассматривать расстояния между подсистемами ИП – цель и внутри коалиции ИП:

                                         ,                                   (3.55)

где r_j – расстояние между j-м ИП и целью:

                     ,               (3.56)

r_K – расстояние от центра коалиции ИП до цели:

                      ,                 (3.57)

R – расстояние между ИП:

                 .           (3.58)

Изменение положения ЛА в пространстве обеспечивается системой управления ЛА путем изменения величины перегрузки и ее направления (за счет «накренения» g_i ЛА) (рис. 3.6). Поэтому вектор управления имеет вид

                                          ,                                    (3.59)

где n_yi = n_i×cos(g_i); n_zi = n_i×sin(g_i).

Вектор ограничений определяет конфигурацию истребителей-перехватчиков (ИП) внутри коалиции. Для звена – пары ЛА, находящегося в боевом порядке «фланг», система ИП представляет собой конфигурационно-пространственную линию, вписанную в шар или шаровой слой с центром в точке [XK, YK, ZK]. Для звена из трех ЛА данная точка – центр равностороннего треугольника.

Рис. 3.6. Формирование вектора управления

Ограничения, накладываемые на подсистему для поддержания данного боевого порядка, имеют вид:

                                                                                                    (3.60)

т.е. внутри коалиции ИП не могут удаляться друг от друга на расстояние более чем R_max и сближаться менее R_min.

Другими естественными ограничениями являются требования положительной высоты полета ЛА:

                                                 .                                           (3.61)

Приведя ограничения (3.60) и (3.61) к стандартному виду, запишем вектор g_a:

                                                                (3.62)

Таким образом, полностью описана модель, характеризующая динамические особенности каждого из участников взаимодействия и всей системы в целом.

Векторный показатель и коалиционная структура системы естественно определяются из условия задачи. К первой коалиции относятся два истребителя-перехватчика. При этом она объединяет показатели: промах ИП относительно цели (его необходимо минимизировать) и энергетические затраты (их также необходимо минимизировать).

Поэтому вектор показателей первой коалиции:

                                 ,                          (3.63)

где l_j – некоторые коэффициенты.

При помощи коэффициентов l_j можно гибко менять смысл вектора интегральных показателей: при малых l_j  интегральные показатели в большей степени отслеживают промах, а не энергетические затраты, когда же l_j>>1, на передний план выступает минимизация энергетических затрат при перехвате цели. Кроме этого, при l₁¹l₂ можно задать режим перехвата цели звеном с разделением функций ЛА «ведущий-ведомый» (l₁ = l₂ задают режим полета звена с равноправными ЛА). При разделении функций ЛА в звене основная задача по перехвату цели лежит на «ведущем», а «ведомый» выступает в качестве прикрытия «ведущего». Поэтому «ведущий» должен в большей степени учитывать промах при противодействии, чем «ведомый».

В интересах цели – уклониться от коалиции противника и удалиться от нее на максимально возможное расстояние при контролируемых энергетических затратах, поэтому

                                     .                               (3.64)

Окончательно векторный показатель системы принимает вид

                                                                     (3.65)

ММС представляет собой две коалиции, векторный функционал которой не поддается скаляризации. Это связано, например, с тем, что тактические приемы коалиции ИП не только неизвестны заранее цели, но и могут меняться во время взаимодействия.

Формирование параметризованного ПКЗУ.Взаимодействие подсистем осуществляется на конечном интервале времени [t₀,T]; t₀ = 0 определяет момент начала взаимодействия подсистем, а Т – время окончания взаимодействия. Время Т определяется начальными условиями взаимодействия и параметрами управления, применяемыми каждой коалицией.

Разобьем интервал [t₀,T] на n вложенных интервалов [t_j-1,T]. Зададим на каждом интервале [t_j-1,T] ПКЗУ программу управления в виде:

                                                                    (3.66)

Как было показано в предыдущем параграфе, вектор управления однозначно определяется величиной нормальной перегрузки и углом крена ЛА. Поэтому запишем вектор оптимизируемых параметров в виде

                                                 ,                                           (3.67)

где – вектор, заданный на интервале [t_j-1,t_П], , j = 1…n;

– вектор, заданный на интервале .

Выражение (3.66) примет вид:

                                                                    (3.68)

Поэтому задача выбора оптимальных параметров решается для области допустимых стратегий Q, состоящей из векторов вида (3.67) на интервале [t_j-1,T], .

Оптимальный вектор параметров q* в соответствии с (3.68) однозначно определяет оптимальный вектор управления u* = u(q*), который применяется на интервале [t_j-1,t_j]. После этого повторяется процедура поиска вектора оптимальных параметров для следующих интервалов. При этом начальные условия для вектора состояния динамической системы на всех последующих интервалах выбираются из условия:

где  – начальные условия вектора состояния системы на интервале [t_j,t_j+1], ;  – конечное значение вектора состояния системы на интервале [t_j-1,t_j], .

3.4.2. Анализ эффективности коалиционного перехвата
подвижной цели

Выбор плотности параметрической сети и точности определения векторного равновесия (ВР) для анализа эффективности ММС. При поиске ВР-точек на области параметров Q используется «сеть» размерности n^q и густоты l (см. рис. 3.1).

Густота сети l неявно характеризует точность определения области показателей I в целом, а также Парето-множества и ВР-точек в частности. Помимо этого густота сети и размерность области Q напрямую связаны с интервалом времени оптимизации, поэтому уменьшение шага сети ведет к значительному увеличению времени поиска обобщенного равновесия, так как количество областей локальной оптимизации («ячеек сети») определяется из выражения

                                                     ,                                               (3.69)

где n^q – размерность области параметров Q; l_i – густота сети по i-й координате; – верхняя и нижняя границы i-го компонента вектора параметров на области Q.

Рис. 3.7. Отображение сети пространства параметров на пространство показателей

На рис. 3.7 и рис. 3.8 даны допустимая область пространства показателей для разной плотности сети параметров на пространстве параметров Q.

Рис. 3.8. Отображение сети пространства параметров на пространство показателей

Таблица 3.1

Варианты «сетей» значений параметров

Параметр	Диапазон изменения		Рис. 3.7	Рис. 3.8
	qL	qH	Количество интервалов
	– 3	8	3	5
	– 60	60	1	1
	– 3	8	3	5
	– 60	60	1	1
	– 1	5	2	3
	– 30	30	1	1
Число «ячеек» в сети			324	5625

Из рисунков видно, что более густая сеть точнее отображает всю область пространства показателей. Однако нас интересует не вся область, а только ее часть – Парето-множество и точки векторного Нэш-равновесия. А их с достаточной точностью можно определить и при менее густой сети, выиграв при этом во времени поиска решения. Так, оптимизация на сети из 324 «ячеек» выполняется в 17 раз быстрее, чем на сети из 5625 ячеек.

Анализ эффективности перехвата для догонных, поперечных и встречных курсов.В программной реализации алгоритма векторной Нэш-оптимизации (ВНО) рассматривается случай коалиционного перехвата цели (типа бомбардировщик F-111) двумя высокоманевренными летательными аппаратами (типа МиГ-21) в режиме ближнего наведения перехватчиков.

Расчет динамики конфликта проводился в [54] при следующих конфигурациях коалиций: перехват истребителями-перехватчиками цели «вдогон» (а), на поперечных (б) и встречных (в) курсах (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Начальные конфигурации коалиций

Исходные данные и диапазоны изменения параметров для указанных конфигураций приведены в соответствующих таблицах (см. табл. 3.2, – табл. 3.4).

Таблица 3.2

Начальные условия

	Конфигурация
ИП1	АБВ	0	0	0	3200	– 50
ИП2	АБВ	0	0	0	3200	50
Цель	А	0	0	5000	2000	0
	Б	0	– 90	5000	2000	0
	В	0	180	5000	2000	0

Таблица 3.3

Значения параметров-констант

№	Параметр	Значение
1		600
2		600
3		300
4		2000
5		50
6		1
7		1
8		1
9		9,8

Таблица 3.4

Диапазоны изменения оптимизируемых параметров

№	Параметр	qL	qH
1		– 3	+8
2		– 3	+8
3		– 1… – 3	+5

Продолжение табл. 3.4

4		– 60	+60
5		– 60	+60
6		– 30	+30

Для всех исходных конфигураций коалиций были получены параметризованные программно-корректируемые законы управления для интервалов времени (где T определяется из условия сближения центра коалиции перехватчиков и цели на минимальное расстояние) в соответствии с алгоритмом, изложенным в пункте 3.3.