VIII-а. Поверхности второго порядка

8-а.1. Наименьшая ось трехосного эллипсоида  равна …

2.

8-а.2. Наибольшая ось трехосного эллипсоида  равна …

4.

8-а.3. Сечения поверхности  плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …

гиперболами.

8-а.4. Сечения поверхности  плоскостями, перпендикулярными оси аппликат, являются …

эллипсами.

8-а.5. Сечения поверхности  плоскостями, перпендикулярными оси ординат, являются …

прямыми.

8-а.6. Сечения поверхности  плоскостями, перпендикулярными оси абсцисс, являются …

окружностями.

8-а.7. Сечения поверхности  плоскостями, параллельными оси аппликат, являются …

параболами.

8-а.8. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Гиперболический параболоид

2) Однополостный гиперболоид

3) Эллипсоид вращения

4) Двуполостный гиперболоид

8-а.9. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Конус

2) Эллиптический параболоид

3) Пара плоскостей

4) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов

8-а.10. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Прямая

2) Параболический цилиндр

3) Параболоид вращения

4) Конус

8-а.11. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Однополостный гиперболоид

2) Трехосный эллипсоид

3) Гиперболический параболоид

4) Точка

8-а.12. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Параболоид вращения

2) Эллиптический параболоид

3) Пара плоскостей

4) Эллиптический цилиндр

8-а.13. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Однополостный гиперболоид

2) Параболический цилиндр

3) Эллиптический параболоид

4) Точка

8-а.14. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Конус второго порядка

2) Двуполостный гиперболоид

3) Трехосный эллипсоид

4) Прямая

8-а.15. Установите соответствие между уравнениями и названиями геометрических образов этих уравнений:

1)

2)

3)

4)

1) Уравнение не определяет никаких действительных геометрических образов

2) Конус второго порядка

3) Гиперболический параболоид

4) Эллиптический параболоид

8-а.16. Плоскость  пересекает поверхность  по эллипсу с полуосями …

1 и 2.

8-а.17.  Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы  вокруг оси , имеет вид …

.

8-а.18.  Уравнение поверхности, полученной вращением гиперболы  вокруг оси , имеет вид …

8-а.19.  Установите, что плоскость  пересекает поверхность  по эллипсу. Его полуоси равны …

3 и .

8-а.20. Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси , — это…

.

IX. Линейные пространства

9.1. Матрицей перехода от базиса  к базису , где   является…

9.2.  Матрица перехода от одного базиса к другому всегда является…

невырожденной.

9.3.  В линейном пространстве векторов, параллельных данной плоскости, базисом являются …

любые два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости.

9.4. Все функции, определенные на всей числовой прямой и удовлетворяющие условию , …

образуют линейное пространство, если , а операции суммы и умножения на число определены стандартным способом.

9.5. Вектор …

невозможно представить в виде линейной комбинации векторов  и .

9.6. Матрицы вида   (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

образуют линейное пространство размерности 1.

9.7. Матрицы вида   (операции сложения и умножения на число определены стандартным образом)…

не образуют линейного пространства.

9.8. Матрицы вида , где числа , ,  и  удовлетворяют условиям , , а операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

образуют линейное пространство размерности 2.

9.9. Векторы , , …

являются линейно-зависимыми.

9.10. Разложение вектора  по базису , ,  имеет вид , где…

.

9.11. Функции , ,   будут линейно зависимыми при…

.

9.12. Функции , ,   будут линейно-независимыми при…

любом значении .

9.13. Базисом линейного пространства решений однородной системы   является…

вектор  .

9.14. Векторы ,  и …

являются линейно-независимыми.

9.15. Проверьте, что множество функций вида  (квадратные трехчлены) таких, что , образует линейное пространство. Базисом в этом пространстве является…

, .

9.16. Базисом линейного пространства решений однородной системы   является…

векторы , , .

9.17. Матрица линейного оператора, переводящего любой вектор  в вектор , записанная в стандартном базисе , , , имеет вид…

.

9.18. Матрица дифференцирования многочленов не выше второго порядка в базисе  имеет вид…

.

9.19. Матрица линейного оператора, отображающего все геометрические векторы пространства в векторы, параллельные некоторой плоскости, является…

вырожденной.

9.20. Известно, что линейный оператор переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Матрица этого оператора, записанная в базисе , , имеет вид…

.

9.21. Матрица оператора симметрии относительно плоскости  , записанная в базисе , , , имеет вид…

.

9.22. Матрица оператора ортогонального проектирования на плоскость , записанная в базисе , , , имеет вид…

.

9.23. Матрица некоторого оператора, записанная в базисе , , имеет вид . Этот оператор является…

оператором симметрии относительно оси .

9.24. Множество всех матриц размера , для которых операции сложения и умножения на число определены стандартным образом, …

является линейным пространством размерности 4.

9.25. Линейной комбинацией векторов  и  является вектор…

.

9.26. Известно, что линейный оператор переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Тогда вектор  переходит в вектор…

.

9.27. Известно, что линейный оператор  переводит вектор  в вектор , а вектор  — в вектор . Тогда вектор  переходит в вектор…

.

9.28. Размерность линейного пространства симметричных матриц …

равна 6.