VI-а. Прямая в пространстве

IV. Векторная алгебра

4.1. Найдите расстояние между точками  и .

3

4.2. Найдите координаты середины отрезка , где , .

4.3. Найдите направляющие косинусы вектора .

.

4.4. Найдите углы наклона вектора  к осям координат.

.

4.5. Найдите скалярное произведение векторов  и , если известно, что , , а скалярное произведение .

15

4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов отрицательно?

Если угол между ними тупой.

4.7. Может ли скалярное произведение быть больше произведения длин векторов-сомножителей?

Нет, не может.

4.8. Найдите косинус угла между векторами  и .

4.9. Найдите проекцию вектора  на направление вектора .

–1

4.10. При каком значении  векторы  и  ортогональны?

При .

4.11. При каких значениях  и  векторы  и  будут коллинеарными?

При .

4.12. Выясните, является тройка ,  и  правой или левой.

Правой.

4.13. Найдите длину векторного произведения , если ,  и их скалярное произведение равно .

6

4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

4.15. При каком  векторы , ,  будут компланарными.

При .

4.16. Найдите смешанное произведение  векторов , , .

1

4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

1

4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам  и , составляющий тупой угол с осью ординат и такой, что его длина равна .

4.19. Найдите координаты вектора , где , .

4.20. При каком  векторы  и  перпендикулярны?

При .

4.21. Вычислите векторное произведение , если  и .

.

4.22. Даны векторы ,  и . Вычислите скалярное произведение .

4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален векторам  и ?

.

4.24. Вычислите углы треугольника  с вершинами ,  и .

, , .

4.25. Упростите векторное произведение .

4.26. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

.

4.27. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

.

4.28. Длина векторного произведения векторов  и  равна…

3.

IV-а. Векторная алгебра

4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов-сомножителей, если …

угол между векторами равен нулю.

4-а.2. Векторы  и  перпендикулярны тогда и только тогда, когда …

длины векторов  и  равны.

4-а.3. Пусть  и . Скалярное произведение . Тогда …

.

4-а.4. Даны точки  и . Тогда координаты вектора  составляют …

4-а.5. Направляющие косинусы вектора  равны …

.

4-а.6. Известно, что , , а скалярное произведение . Тогда скалярное произведение векторов  и  равно …

3.

4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если …

если векторы взаимно перпендикулярны.

4-а.8. Косинус угла между векторами  и  равен …

.

4-а.9. Проекция вектора  на направление вектора  равна …

8.

4-а-.10. Пусть  и . Тогда вектор  имеет координаты …

.

4-а.11. Векторное произведение  — это …

вектор, перпендикулярный векторам и .

4-а.12. В результате упрощения векторного произведения  получим …

.

4-а.13. Векторы ,  будут коллинеарны …

ни при каком .

4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном произведении …

оно меняет знак.

4-а.15. Площадь треугольника  равна 3. Тогда длина векторного произведения  равна …

6.

4-а.16. Пусть , , их скалярное произведение . Тогда длина векторного произведения  равна …

48.

4-а.17. Векторы  и  ортогональны при …

.

4-а.18. Смешанное произведение  трех взаимно перпендикулярных векторов …

равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка  является левой.

4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , равен …

6.

4-а.20. Даны векторы ,  и . Тогда векторное произведение  равно …

.

4-а.21. Длина векторного произведения векторов  и  равна …

.

4-а.22. Смешанное произведение векторов ,  и  равно …

39.

4-а.23. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

.

4-а.24. Векторы  и  перпендикулярны …

при .

4-а.25. Пусть скалярное произведение , угол между векторами  и  равен . Тогда скалярный квадрат векторного произведения этих векторов

(т.е. ) равен …

3.

V. Плоскость

5.1. Найдите, при каком значении  плоскость  будет перпендикулярна плоскости .

При .

5.2. Найдите, при каких  и  плоскости  и  параллельны?

При .

5.3. Найдите угол между плоскостью  и координатной плоскостью .

5.4. Найдите расстояние от точки  до плоскости .

5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку  и прямую пересечения плоскостей  и .

5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости .

.

5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой , где  и .

.

5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,  и .

.

5.10. Найдите угол между плоскостями  и .

5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку , если нормальный вектор этой плоскости .

.

5.12. Плоскость …

параллельна оси .

5.13. Плоскость  проходит через ось , если…

.

Эта плоскость не может проходить через ось .

5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую  параллельно вектору .

.

5.15. При каких  и  прямая  лежит в плоскости ?

.

5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями  и .

 и .

5.17. Найдите расстояние между плоскостями  и .

5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью .

5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через начало координат и точки  и .

.

5.20. Определите, как расположены точки  и  относительно плоскости .

По разные стороны от плоскости, причем точка  по ту же сторону, что и начало координат.

5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка  перпендикулярно , если , .

.

5.22. Установить, при каком значении  плоскость  будет параллельна плоскости ?

Ни при каком.

5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости .

5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам  и .

.

5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки ,  параллельно вектору .

.

5.26. При каком значении  точки , ,  и  принадлежат одной плоскости?

При .

V-а. Плоскость

5-а.1. Плоскость  будет перпендикулярна плоскости  при …

.

5-а.2. Плоскости  и  параллельны при …

.

5-а.3. Расстояние от точки  до плоскости  равно…

.

5-а.4. Уравнение плоскости, проходящей через точки , , , имеет вид …

.

5-а.5. Уравнение плоскости, проходящей через точку  параллельно плоскости , имеет вид …

.

5-а.6. Угол между плоскостями  и  равен …

.

5-а.7. Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку , имеет вид …

.

5-а.8. Плоскость  проходит через ось , если…

 и .

5-а.9. Уравнение плоскости, проходящей через прямую  параллельно вектору , имеет вид …

.

5-а.10. Расстояние между плоскостями   и   равно …

.

5-а.11. Объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью , равен …

.

5-а.12. Точки  и  расположены относительно плоскости  …

по одну сторону, противоположную стороне, где лежит начало координат.

5-а.13. Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам  и , имеет вид …

.

5-а.14. Уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка , где , , перпендикулярно этому отрезку, имеет вид …

.

5-а.15. Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору , имеет вид…

.

VI. Прямая в пространстве

6.1. Какой из указанных ниже векторов является направляющим вектором прямой ?

.

6.2. Запишите канонические уравнения прямой, если ее параметрические уравнения имеют вид

.

6.3. Запишите параметрические уравнения прямой

.

6.4. При каком значении  прямая    будет перпендикулярна прямой

При .

6.5. При каких значениях  и  прямые  и  параллельны?

При .

6.6. Установите взаимное расположение прямых  и  

Прямые скрещиваются.

6.7. При каких значениях  и  прямая  и плоскость  будут перпендикулярны?

При .

6.8. Найдите угол между прямой  и плоскостью .

.

6.9. Установите взаимное расположение прямой   и плоскости ?

Прямая лежит в указанной плоскости.

6.10. Найдите расстояние от начала координат до прямой .

6.11. Найдите расстояние между прямыми    и .

1

6.12. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости .

.

6.13. В какой точке прямая, проходящая через точки  и , пересекает координатную плоскость ?

6.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой

.

6.15. Запишите канонические уравнения прямой

.

6.16. Составьте параметрические уравнения перпендикуляра, проведенного через точку  к плоскости .

.

6.17. При каком значении  прямая  параллельна плоскости ?

При .

6.18. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точку  параллельно прямой

.

6.19. При каком  прямая   пересекает ось ?

При .

6.20. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки  и .

.

6.21. Направляющим вектором прямой  является вектор…

.

6.22. Канонические уравнения оси ординат имеют вид…

.

6.23. Параметрические уравнения медианы треугольника , где , , , имеют вид…

6.24. Канонические уравнения прямой, делящей пополам угол между положительными направлениями осей  и , имеют вид…

.

6.25. Направляющим вектором прямой  служит вектор…

.

VI-а. Прямая в пространстве

6-а.1. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.2. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.3. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.4. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.5. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.6. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.7. Направляющим вектором прямой  является вектор с координатами …

.

6-а.8. Каноническими уравнениями прямой  являются …

.

6-а.9. Каноническими уравнениями прямой  являются …

.

6-а.10. Параметрическими уравнениями прямой  являются…

.

6-а.11. Параметрическими уравнениями прямой  являются …

.

6-а.12. Прямая  принадлежит плоскости …

.

6-а.13. Прямая  принадлежит плоскости …

.

6-а.14. Прямая    будет перпендикулярна прямой  при …

.

6-а.15. Прямые  и  …

пересекаются.

6-а.16. Прямая  перпендикулярна плоскости  при …

.

6-а.17. Расстояние от точки  до прямой  равно …

3.

6-а.18. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости , имеют вид …

.

6-а.19. Прямая  параллельна плоскости  при …

.

6-а.20. Прямая   пересекает ось  при …

.