Порядок выполнения задания.

Контрольные работы

Указания по выбору варианта

Выбор вариантов контрольного задания осуществляется студентом самостоятельно на основании двух последних цифр номера зачетной книжки (в каждом задании предусмотрено 25 вариантов).

Для ускорения решения заданий допускается использовать вычислительную технику и соответствующие программные средства (например, Microsoft Excel).

Контрольное задание №1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева «Затраты-выпуск»)

Методические указания

Межотраслевой баланс (МОБ) это макроэкономическая модель, отражающая производство и потребление продукции в отраслях и секторах экономики в стоимостном выражении. МОБ отражает межотраслевые поставки и конечное потребление продукции произведенной в отраслях в течение года. Межотраслевой баланс представляется в виде табл. 1.

                   Таблица 1

Межотраслевой баланс производства и потребления продукции

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт Y	Валовой продукт X
	1	2	…	n
1 2 … n	х11 х21        … хn1	х12 х22 … хn2	… … … …	х1n х2n … хnn	Y1 Y2 … Yn	X1 X2 … Xn
Добавленная стоимость	Z1	Z2	…	Zn
Валовой продукт	X1	X2	…	Xn

В табл. 1 представлены объемы производства продукции n отраслей Х₁,Х₂,…,Х_n ; х_ij – стоимость продукции i-й отрасли, потребленное в j-й отрасли в течение года; Y_i – объем потребления продукции i-й отрасли в непроизводственной сфере; Z_j – добавленная стоимость в j-й отрасли, которая включает оплату труда, чистый доход, амортизацию.

В межотраслевом балансе имеют место следующие балансовые соотношения:

                                                                                       (1.1)

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямых затрат А=(a_ij).

Коэффициенты прямых затрат определяются по формуле:

a_ij=х_ij/X_j , i,j= 1,2,…,n.                                                       (1.2)

Эти коэффициенты показывают, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства единицы валовой продукции j-ой отрасли.

Из (1.2) следует, что

х_ij = a_ij X_j.                                                                                                   (1.3)

Подставляя (1.3) в (1.1) получаем:

,                                          (1.4)

или в матричном виде:

                                          Х = АХ + Y.                                                          (1.5)

Откуда следует:

Y =  (E - A) X ,

                                          X = (E - A)^-1 Y.                                                                           (1.6)

Матрица В = (E-A)^-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат, для ее существования необходимо, чтобы определитель матрицы (Е-А) не был равен нулю.

Система уравнений (1.4), (1.5), (1.6) называется статической моделью Леонтьева. С помощью этой системы можно решать три типа задач:

1) по заданным величинам валовых выпусков Х_j определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y_i и построить таблицу межотраслевого баланса;

2) по заданным величинам конечной продукции Yi определить величины валовых выпусков Х_j каждой отрасли и построить таблицу межотраслевого баланса;

3) для нескольких отраслей заданы величины валовых выпусков Х_j, а для остальных отраслей заданы величины конечной продукции Y_i, надо определить объемы конечной продукции первых отраслей и валовых выпусков вторых отраслей и построить таблицу межотраслевого баланса. В последнем случае расчет неизвестных осуществляется по комбинированной схеме:

                                            (1.7)

                                              (1.8)

где , - векторы заданных уровней конечного и валового продуктов;

, - векторы искомых уровней валового и конечного продуктов;

Aik, i,k = 1,2 - блоки разбиения матрицы коэффициентов прямых затрат А.

Для того чтобы матрица А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из условий:

1. Все главные миноры матрицы (Е-А) положительны.

2. Матричный ряд Е+А+А²+ А³+…сходится к (Е-А)^-1

3. Если сумма элементов в каждом столбце матрицы А меньше 1, то матрица А продуктивная. В межотраслевом балансе это условие, ввиду ненулевой добавленной стоимости, выполняется всегда, т.е. из условия Z_j>0 следует, что  для j=1,2,…, n.

Пример.Располагая следующими данными об экономической системе, состоящей из трех экономических объектов: P1-промышленность, P2 - сельское хозяйство, P3 - транспорт:

Требуется:

1.Завершить составление баланса.

2.Рассчитать матриц у коэффициентов прямых затрат, полных затрат, косвенных затрат.

3.Рассчитать валовые выпуски 1-ой и 2-ой отраслей и конечный продукт 3-ей отрасли на планируемый период при условии увеличения конечного продукта первых двух отраслей на 3%, оставив без изменения объем валового продукта 3-ей отрасли.

4.Рассчитать новую производственную программу каждой отрасли.

Порядок выполнения задания.

1. Составление баланса.

1.1. Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₁, найдем , а затем

1.2. Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₂, найдем Y₂, предварительно подсчитав

1.3. Используя соотношение между элементами столбца ∑, найдем

1.4.Используя баланс между производством и потреблением продукции отрасли P₃ , найдем Х₃:

1.5. Вычислим суммарные затраты всех трех отраслей на производство продукции первой отрасли

1.6. Используя стоимостную структуру продукции отрасли P₁, найдем Z₁

Используя соотношение (1.3), получим Z₃:

1.8. Определим суммарные затраты на производство продукции отраслей P₂ и P₃ найдем

1.9. Определим затраты продукции отрасли P₃ на производство продукции P₂ и на собственные производственные нужды

Окончательно получаем

2. Расчет матрицы коэффициентов прямых, полных и косвенных затрат

2.1. Элементы матрицы коэффициентов прямых затрат рассчитаем по формуле (2), получим:

2.2. Проверка условия продуктивности:

2.3. Рассчитаем элементы матрицы полных затрат:

2.4. Элементы матрицы косвенных затрат рассчитаем по формуле , получим:

3. Расчет валовых выпусков 1-ой и 2-ой отраслей и конечного продукта 3-ей отрасли.

3.1. Определим валовые уровни продукции отраслей P₁ и P₂ на планируемый период, предварительно вычислив новые уровни их конечных продуктов:

Y₁ = 200*1,03=206

Y₁ = 450*1,03=463,5

Расчет произведем по формуле (7)

Где - искомый вектор валовой продукции отраслей P₁ и P₂

- уровень валовой продукции 3-ей отрасли

- новый вектор конечной продукции отраслей P₁ и P₂

- блоки разбиения матрицы А: ,

Результаты расчетов:

3.2. Определим объем конечного продукта отрасли P₃  по формуле (8), где - вектор валовой продукции отраслей P₁ и P₂ , найденной на предыдущем шаге, - блоки разбиения матрицы А,

Результаты расчетов:

4. Расчет производственной программы каждой отрасли. Расчеты произведем по формуле (3)

Результат расчетов

5. Результаты расчетов п.3, 4 представим в балансе на планируемый период: