Четвертое уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с теоремой Гаусса для электрической индукции:

,

где интегрирование производится по произвольной замкнутой поверхности , окружающей систему зарядов .

В случае непрерывного распределения зарядов в охваченном поверхностью  объеме , это уравнение запишется в виде:

,                              (4.5)

где  – объемная плотность заряда.

Полная система уравнений Максвелла

Применяя теоремы Стокса и Остроградского–Гаусса:

можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме, характеризующих поле в каждой точке пространства:

.  (4.6)

Необходимо указать связь между векторами , ,  и , т.е. конкретизировать свойства материальной среды, в которой рассматривается электромагнитное поле. Уравнения, связывающие эти величины, называются материальными уравнениями:

         (4.7)

К материальным уравнениям относится и закон Ома в дифференциальной форме: , где  – удельная проводимость вещества.

Замкнутая система уравнений Максвелла представлена в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Интегральная форма	Дифференциальная форма
Материальные уравнения
,

Общая характеристика теории Максвелла

1. Теория явилась обобщением важнейших законов, описывающих электрические, магнитные и электромагнитные явления (теорема Гаусса, закон постоянного тока, электромагнитная индукция).

2. Теория имеет феноменологический характер – не рассматривает внутренний механизм явлений, происходящих в среде (среда описывается величинами ).

3. В теории рассматриваются макроскопические поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами.

4. Макроскопические заряды и токи являются совокупностями микроскопических зарядов и токов, создающих микрополя, непрерывно изменяющиеся в каждой точке пространства. Макрополя представляют собой усредненные микрополя.

5. Теория Максвелла является теорией близкодействия.

6. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразованиям Лоренца.

Классическая теория электропроводности металлов (классическая электронная теория)