УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ XSPH - МЕТОДА

В анализе Хольма (Holm) (1999) предлагается следующий вид лагранжиана

                                                                    (4.1)

где канонические координаты для частицы b - это , её скорость - . Для простоты мы не включили гравитационные силы. Их можно легко ввести в конечные уравнения.

Часть с кинетической энергией данного лагранжиана можно перезаписать, обращая (3.2), что дает

                                                                         (4.2)

где погрешности обращения - порядка Ο (h⁴). Затем мы получаем уравнение

                              (4.3)

которое является положительно определенным.

Если суммы по k аппроксимированы интегралами, и мы полагаем плотность постоянной, разложение в ряд Тейлора разности скоростей в подынтегральном выражении, с последующим интегрированием, показывает что

                              (4.4)

где обозначает i-компоненту , и производится суммирование по i. Подстановка этого результата в (4.3) дает

                                                                              (4.5)

В отсутствие диссипации и внешних сил эта величина инвариантна для несжимаемой жидкости (Holm 1999). Она положительно определена, квадратична по скоростям, и заменяет собой обычную кинетическую энергию. Отметим, в частности, члены которые играют ключевую роль в распределении энергии. Эквивалент SPH – это сумма (4.3), включающая квадрат разности скоростей. Эта сумма включает в себя только соседние частицы, и является малой, если они имеют близкие скорости. Она становится большой только когда скорости соседних частиц различаются по знаку или величине или то и другое одновременно. Это происходит когда имеет место значительное изменение ν на шкале h. Такое изменение эквивалентно существованию мод с высокими волновыми числами.

Уравнения Лагранжа имеют вид:

                                                                                                   (4.6)

Первая величина, которая нам нужна, это канонический импульс для частицы a

                                        (4.7)

которая приводится к

                                       (4.8)- (4.9)

так что канонический импульс уравнения Лагранжа, определенный с – это нормальный импульс, построенный с . Это двойственное отношение между и напоминает нам о связи между скоростями Эйлера и Лагранжа, о которых упоминает Holm (1999).

Оставшийся член, необходимый для уравнения движения частицы a - это . Подробности этого расчета представлены в Приложении A. Подстановка в (4.6) дает

         (4.10)

где (a → b) обозначает члены, идентичные предыдущим, но a и b взаимозаменяемы за исключением в , а другие величины, которые не определены ранее, имеют следующие значения:

и

Уравнения, необходимые для SPH альфа-модели – это уравнение для ускорения (4.10), и уравнение для плотности, либо в форме суммирования (2.4), либо в форме уравнения непрерывности (2.22):

                                                                                   (4.11)

вместе с соотношением . Субстанциональная производная определяется равенством

                                                                                                 (4.12)

Эти замечательно простые уравнения составляют SPH альфа-модель. Они включают в себя все желательные свойства уравнений Holm (1999) для несжимаемой жидкости, обобщенные на сжимаемые течения. Если среда является самогравитирующей, то можно добавить члены, ответственные за гравитацию, как в Разделе 2. Эти новые уравнения отличаются от уравнений Раздела 2, например (2.10), так как усреднение скорости приводит к членам, в выражении для силы, зависимым от скорости, и частицы движутся со сглаженной скоростью. В остальном уравнения очень похожи.

Чтобы сравнить наши результаты с результатами для несжимаемой альфа-модели, примем, что h и ρ постоянны. В этом случае Ω = 1, а член, включающий ν, исчезает, так как величина  равна нулю. Уравнение движения принимает вид

                                (4.13)

Если суммы в уравнениях SPH преобразованы в интегралы, доминирующие члены дают континуальную альфа-модель (подробности см. в Приложении B). В частности, мы снова получаем уравнение Хольма для ускорения (Holm 1999, уравнение 143)

                              (4.14)

Таким образом, мы достигли нашей цели создания модели турбулентности, основанной на лагранжиане, которая сводится к альфа-модели в континуальном пределе. В последующих разделах мы исследуем некоторые свойства SPH-модели.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

В отсутствие границ и внешних сил лагранжиан L инвариантен относительно переносов и поворотов. Из-за инвариантности относительно переноса δr системы координат, изменение δL в L должно быть нулевым. Таким образом,

                                                                                          (5.1)

Из уравнения Лагранжа мы можем подставить производную от L, получим:

                                                                                                     (5.2)

так что линейный импульс,

                                                                                               (5.3)

сохраняется.

Если система координат поворачивается на , то есть и - . Так как L инвариантна, то

                                                                    (5.4)

Производя замены и и используя уравнения Лагранжа в (5.4), находим

                                                                                     (5.5)

Так как – произвольная величина, мы делаем вывод, что угловой момент

                                                                                        (5.6)

сохраняется.

Так как лагранжиан не имеет явной зависимости от времени, то существует инвариант

                                             (5.7)-(5.8)

который уместно назвать энергией. Используя (4.3) мы можем записать

                                   (5.9)

Если энтропия постоянна, то система также инвариантна относительно преобразования ожерелья, рассмотренного ранее (Раздел 2.2). В данном случае частицы, имеющие предположительно одну и ту же массу и энтропию, сдвигаются в соседнее положение на петле и дают новое положение.

Изменение L можно записать следующим образом

                                                                          (5.10)

где j обозначает метку частицы на петле. Изменение положения и скорости задается равенствами

                                                                                                      (5.11)

и

                                                                                                   (5.12)

Используя уравнения Лагранжа, мы можем переписать (5.4) в следующем виде

                                                                                 (5.13)

и с учетом равенства масс частиц, вывести формулу

                                                                                       (5.14)

которая тождественна теореме о дискретной циркуляции (2.16). Читатель отметит, что этот результат зависит от того факта, что канонический импульс частицы j – это .

Результаты данного раздела показывают, что SPH альфа-модель сохраняет импульс, угловой момент и циркуляцию идентичные по форме для стандартной SPH модели без средних скоростей. Соответственно, если мы измеряем эти сохраняемые величины в начальное время, они будут оставаться постоянными, несмотря на то, что уравнения движения теперь содержат новые, зависимые от скорости члены, а частицы движутся со средней скоростью.