Исследование формы гиперболы

Гипербола лежит за полосой со сторонами x = ± a. Действительно, согласно уравнению гиперболы имеет место неравенство   x²/a²≥1→x²≥a²→|x|≥a

Гипербола является симметричной относительно начала координат и относительно координатных осей.Гипербола имеет две асимптоты      у =±b/a*x

к которым приближаются точки гиперболы при удалении их от начала координат. y²/b² =x²/a² = -1
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из уравнения гиперболы найдём   y = ±b/a

Предел расстояния между точками асимптоты и точками гиперболы равен

График гиперболы

21.

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, расстояния которых до некоторой точки, называемой фокусом и до некоторой прямой, называемой директрисой, не проходящей через фокус, равны.
Для вывода уравнения параболы введем на плоскости прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус перпендикулярно директрисе, и будем считать ее положительным направлением направление от директрисы к фокусу; начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат.
Пусть М (х; у) – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние от точки М до фокуса F(p/2; 0), пусть r = FM,

Через d – расстояние от точки до директрисы, а через р расстояние от фокуса до директрисы. Величину называют параметром параболы, его геометрический смысл раскрыт далее. Точка М будет лежать на данной параболе в том и только в том случае, когда r = d.
В этом случае имеем

Далее избавимся от иррациональности

Уравнение  y² = 2 p x называется каноническим уравнением параболы.
Проверим, что каноническое уравнение, получаемое возведением в квадрат обеих частей уравнений, не приобрело «лишних» корней. Для этого достаточно показать, что для любой точки М (х; у), координаты которой удовлетворяют каноническому уравнению, удовлетворяют определению параболы.
Действительно, из уравнения   y² = 2 p x вытекает, что х ≥ 0 и поэтому для точки М (х; у) с неотрицательной абсциссой имеем d = р ⁄ 2 + х. Подставляя значение у² из канонического уравнения параболы в выражение

и, учитывая, что x ≥ 0, получаем

т.е. величины r и d равны, что и требовалось показать. Таким образом, уравнению  y² = 2 p x

удовлетворяют координаты точек данной параболы, и только они.

Исследование формы параболы

• парабола проходит через начало координат, т.к. координаты начала координат удовлетворяют уравнению параболы.
• парабола симметрична относительно оси ОХ, т.к. точки с координатами (x, y) и (x, − y) удовлетворяют уравнению параболы.
• если р > 0, то ветви параболы направлены вправо и парабола находится в правой полуплоскости.

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) — осью параболы.

22.

Параметрические уравнения плоскости

В векторном виде    

В координатах      

Если прямая параллельна плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .

Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:

Для параллельности прямой a, не лежащей в плоскости , и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору плоскости .

23. 

Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:

24.

Нормальное уравнение плоскости вида cos a *x + cos b * y + cos y * z – p = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости  =(cos a, cos b, cos y). cos a, cos b, cos y - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.

 Нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D = 0, в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости  равна единице, а число D неотрицательно.

Расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине числа, которое получается при подстановке координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости. Формула:

25.

Если две плоскости (α₁ и α₂) заданы общими уравнениями вида: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n₁={A₁,B₁,C₁) и n₂={A₂,B₂,C₂). Получаем, что косинус угла между плоскостями α₁ и α₂ равен

Условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

               A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.  

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М= {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ ={x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения принимают вид:

                 -                                                             

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

26.

Число а называется пределом последовательности , или пределом переменной x_n (обозначается x_n→a), если для всякого ɛ>0 найдется зависящее от ɛ число N₀ такое, что |x_n –a|<ɛ для всех натуральных n >N₀.

Cвойства:

1. Предел суммы .Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: