Угол между двумя прямыми. Способ первый

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:  и не перпендикулярны, то ориентированный угол q между ними найдем по формуле:

Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведениенаправляющих векторов прямых:

Способ второй

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом и не перпендикулярны, то ориентированный угол между ними найдем по формуле:

Условие перпендикулярности прямых выражается равенством 1+k₁k₂ = 0, откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых:k₁ = -1/k₂ , которая используется в некоторых задачах.

Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы: . Здесь результат заведомо будет положительным. Но может получиться тупой угол. В этом случае придётся из 180-ти градусов вычитать получившийся арккосинус.

19.

Эллипсом – называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть, величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

Комментарии к определению: F₁ и F₂ – фокусы, | F₁F₂ | = 2·с — расстояние между фокусами, | MF₁ | + |MF₂| = 2·a >2·c — определение эллипса.
Система координат, в которой уравнение имеет наиболее простой вид, называется канонической. Проведём ось абсцисс через фокусы, начало координат поместим в середине между фокусами, ось ординат направим перпендикулярно. Пусть М(х, у) — произвольная точка на эллипсе, тогда F₁(- c; 0) и F₂(c; 0). Расстояния текущей точки эллипса до её фокусов называются фокальными расстояниями |MF₁| = r₁, |MF₂| = r₂ и, по определению эллипса, имеем r₁ + r₂ = 2·a.
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, из определения эллипса имеем: +

Избавимся от иррациональности, возведя обе части соотношения =2а-

в квадрат: ,

                        ,

                        ,

                        ,

                     ,

                        ,
далее             х²(а² - с²) + а²у² = а²(а² – с²),  а² – с² = b² ,   x²b² +a²y² = a²b².

Разделив обе части на a²b², получим каноническое уравнение эллипса .

Исследование формы эллипса. Так как

то эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами х = ± а, у = ± b.

Эллипс является симметричным относительно начала координат и относительно осей координат. Это следует из-за того, что в уравнении эллипса переменные x и y входят квадратами x², y². Если уравнению эллипса удовлетворяет точка с координатами x и y, то уравнению эллипса будут удовлетворять точки с координатами ( −x, − y), (− x, y), (x, − y).Фокусы эллипса лежат на его большой оси эллипса.

20.

Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем систему координат следующим образом:

• ось абсцисс проведём через фокусы;
• начало координат выберем посередине между фокусами.

По условию F₁F₂ = 2·с, тогда фокусы имеют координаты F₁(- с, 0), F₂(с, 0). Пусть М(x, y) — произвольная точка гиперболы, и по определению |МF₁| − |МF₂| = 2 ·a < 2·c. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и проведя процедуру избавления от иррациональности, будем иметь:

                        - ,

                        =

                        ,

                        (хс – а²)² = а²((х – с)² + у²),

                         - а²х²+2а²хс – а²у² = а²с² – а⁴,

                        х²(с² – а²) – а²у² = а²(с² – а²).

Если ввести обозначение b² = c² − a², то уравнение гиперболы примет вид    x²·b² − a²·y² = a² b².

Выполнив преобразование, аналогичное выводу уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы: