Производная и первообразная

Физический смысл производной:

Геометрический смысл производной:

Правила вычисления производных

Уравнение касательной

Показательная функция

1

1. Область определения функции − вся числовая прямая.
2. Область значений функции − промежуток  (0; +∞).
3. При а>1 функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой. А при а<1 функция строго монотонно убывает на все числовой прямой.

Показательные уравнения

где a > 0, a ≠ 1.

Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = log_ab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Пример 1. Решить уравнения: a) 2^x = -4, b) 2^x = 4, c) 2^x = 5.

Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения положительна при любом x Î R (см. свойства показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.

b) Используя утверждение 1, получим x = log₂4, то есть x = 2.

c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log₂5.

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению  f(x) = log_ab.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Согласно замечанию к утверждению 1

Так как , следовательно , откуда

и  f(x) = g(x)  равносильны.

Показательные неравенства.

При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) Û f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) Û f(x) > g(x).

A.3. Неравенство

равносильно совокупности систем неравенств

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^f(x) < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x Î D(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) > log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b Û f(x) < log_ab.

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^f(x) > b

равносильно неравенству

f(x) < log_ab.

Аналогично, a ^f(x) < b Û f(x) > log_ab.

Логарифмы

Логарифмическая функция непрерывна и строго возрастает (если основание a > 1) или строго убывает (если a < 1) на всей области определения.

Множество ее значений – все действительные числа.

Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln x. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x.

Логарифмические уравнения

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log _h(x) g(x) равносильно одной из систем

При решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.