Студопедия

КАТЕГОРИИ:

Авто Автоматизация Архитектура Астрономия Аудит Биология Бухгалтерия Военное дело Генетика География Геология Государство Дом Журналистика и СМИ Изобретательство Иностранные языки Информатика Искусство История Компьютеры Кулинария Культура Лексикология Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Музыка Население Образование Охрана безопасности жизни Охрана Труда Педагогика Политика Право Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радио Регилия Связь Социология Спорт Стандартизация Строительство Технологии Торговля Туризм Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Ценнообразование Черчение Экология Эконометрика Экономика Электроника Юриспунденкция

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Пусть имеются результаты наблюдений за двумя переменными X и Y. Если они взаимосвязаны, то порядок, в котором следуют числа x₁, …, x_n в определенной степени влияет на порядок, в котором следуют числа y₁, …, y_n, т.е. последовательность рангов переменной X в какой-то мере влияет на ранговую последовательность переменной Y. Чем теснее связь между X и Y, тем в большей степени последовательность r₁, …, r_n предопределяет последовательность s₁, …, s_n. Если признаки не связаны, то порядок y₁, …, y_n случаен по отношению к порядку среди x₁, …, x_n. Ранги инвариантны для любых монотонных преобразований переменных. Любое монотонное преобразование оставляет также инвариантной гипотезу независимости и поэтому использование рангов естественно.

Статистическая модель. Имеются выборки x₁, …, x_n и y₁, …, y_n, полученные из двумерной совокупности. Наблюдения независимы. Требуется найти коэффициент корреляции r_k между n парами (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n) выборок.

Для вычисления коэффициента корреляции r_k выполняется перестановка элементов выборки y_i так, чтобы ранги располагались в порядке возрастания 1, 2, …, n, а ранг X, соответствующий Y = i, обозначается q_i. Таким образом, ранги y₁, …, y_n заменяются натуральным рядом чисел, а ранги x₁, …, x_n образует последовательность q₁, …, q_n. Затем определяются инверсии s_i…, s_n последовательности рангов переменой X как разности между q_i и i. Отрицательным инверсиям присваиваются нулевые значения. После этого вычисляется сумма инверсий K_I. Наибольшее из возможных число инверсий получается при полной противоположности ранговых последовательностей, и оно равно K_I = n×(n – 1)/2, а наименьшее число инверсий соответствует полному совпадению ранговых последовательностей; в этом случае K_I = 0. Величина K_I зависит от n, поэтому на практике используется нормированная величина, которая называется коэффициентом ранговой корреляции Кендалла

(10)

или в эквивалентной форме записи

(11)

где K = (n×(n – 1)) – K_I называется статистикой Кендалла.

Коэффициент r_k изменяется от –1 до +1. Значения больше 0 соответствуют положительной корреляции (прямо пропорциональной взаимосвязи) рядов, меньше 0 – их отрицательной корреляции (обратно пропорциональной взаимосвязи).

Вычисление критериальной статистики. Основным преимуществом вероятностной оценки r_k по сравнению с оценками других коэффициентом ранговой корреляции является ее более высокая надежность с точки зрения более быстрого стремления закона ее распределения к нормальному. Для n ³ 10 критерий проверки H₀основан на том факте, что критериальная статистика r_k имеет приближенно нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией

(12)

Тогда если величина

(13)

окажется больше табличного значения нормально распределенной случайной величины Z_a при заданном уровне значимости a, то гипотеза о независимости переменных X и Y (т.е. r_k = 0) отвергается.

Коэффициент конкордации

В ряде случаев результатом эксперимента является не одна, а k последовательностей данных объемом n каждая и необходимо оценить хорошо ли они согласуются между собой. Для этого элементам последовательностей присваиваются ранги по результатам их сортировки, например, по возрастанию. В результате получается матрица рангов p_n_,_k (табл.1), строками которой являются порядковые номера данных в исходных последовательностях, а столбцами – их номера

Таблица 1

Матрица рангов ранжированных данных

№ п/п	Последовательности			Сумма рангов	Отклонения от среднего	Квадраты отклонений
№ п/п	1	…	k	Сумма рангов	Отклонения от среднего	Квадраты отклонений
1	p₁_,1	…	p₁_,k	S p₁	S p₁ – p_ср	(S p₁ – p_ср)²
2	p_1,2	…	p_2,k	S p₂	S p₂ – p_ср	(S p₂ – p_ср)²
…	…	…	…	…	…	…
N	p_1,_n	…	p_n_,k	S p_n	S p_n – p_ср	(S p_n – p_ср)²

в ранжированных последовательностях и согласованность данных оценивается проверкой согласованности ранжировок с помощью коэффициента, который в непараметрическом корреляционном анализе носит название коэффициента конкордации и обозначается символом W.

Для определения W суммируются все ранги для соответствующих факторов, а затем из каждой суммы вычитается среднее значение p_ср = k(n + 1)/2. Затем суммируются квадраты отклонений, и полученная сумма S делится на максимально возможное из всех возможных значений этой суммы квадратов. Очевидно, что она будет максимальной только тогда, когда все ранжировки одинаковы. В этом случае суммы рангов образуют последовательность k, 2k, …, nk, а отклонения от среднего равны соответственно

– (1/2)(n – 1)k, – (1/2)(n – 3)k, …, (1/2)(n – 3)k, (1/2)(n – 1)k

и максимальное значение суммы квадратов отклонений определится как

S_max = (1/2)k²[(n – 1)² + (n – 3)²+ …] = (1/12)k²n(n²– 1) .

Тогда коэффициент конкордации

(14)

При полном совпадении ранжировок W = 1; чем хуже согласуются ранжировки, тем меньше W. Отличие коэффициента конкордации от коэффициента ранговой корреляции состоит в том, что он изменяется от 0 до 1, а не от –1 до 1.

Если ранжировки взаимно независимы, то величина

F = (k – 1)W / (1 – W)

(15)

имеет примерно F-распределение с числом степеней свободы k₁ = n – 1, k₂ = (k – 1)(n – 1) – 2. Если эта величина окажется больше своего табличного значения F_a(k₁, k₂) для принятого уровня значимости a, то можно утверждать, что существует неслучайная согласованность мнений экспертов.

Практическая часть

По исходным данным из приложения 1 для уровня значимости a = 0,05 проверить гипотезы:

1. О принадлежности данных одному и тому же непрерывному распределению с помощью критерия Уилкоксона-Манна-Уитни по максимальному из значений R ((1) или (2)). Предельное значение статистики (5) Z_a = 2,24. Условие принятия гипотезы Z ≤ Z_a.

2. О независимости данных с помощью коэффициента корреляции Кендалла (10) и статистики (13). Условие принятия гипотезы Z ≤ Z_a.

3. О совпадении средних с помощью критерия Крускала-Уоллиса (7) – (9). Табличные значения распределений F_a(2, 18) = 3,55 и c²_a = 5,99.

4. О неслучайности согласованности данных с помощью коэффициента конкордации (14) и статистики (15). Табличное значение распределения F_a(6, 10) = 3,22. Условие принятия гипотезы F ≥ F_a.

3. Содержание отчета:

1. Титульный лист.

2. Номер варианта и исходные данные.

3. Результаты обработки данных по пп.1, 2.

4. Результаты обработки данных по пп. 3, 4.

5. Выводы.

Литература

1. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. Ч.1. Разведочный анализ. Анализ качественных данных / Р.Н. Каримов. – Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2002. – 112 с.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 573 с.

Приложение 1

Вариант №1

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

5,5 5,1 5,7 5,2 4,8 5,7 5,0

6,5 5,4 5,8 6,8 6,6 4,9 5,4

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,026 0,030 0,021 0,012 0,008 0,042 0,048

0,060 0,016 0,040 0,018 0,007 0,010 0,071

0,032 0,028 0,009 0,037 0,061 0,014 0,053

Вариант №2

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

5,9 5,4 6,8 5,8 6,9 5,5 4,9

5,0 6,5 5,3 5,7 6,7 6,2 4,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

1,1 2,3 6,4 4,7 7,1 3,2 5,9

1,4 2,8 7,2 6,0 3,7 5,2 4,3

7,6 1,0 6,8 4,5 2,9 5,4 3,3

Вариант №3

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

32,8 39,4 36,1 27,5 27,2 21,1 23,3

29,5 34,1 31,8 38,1 37,2 29,8 31,3

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

3,2 1,9 5,1 6,4 4,8 7,2 2,0

1,2 2,2 6,2 4,6 5,5 7,9 3,3

1,0 2,4 7,7 6,3 3,5 5,0 4,2

Вариант №4

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

37,0 32,2 46,6 40,8 44,6 33,8 32,7

23,7 32,4 39,1 35,1 32,3 37,0 37,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

11,3 4,4 3,0 6,5 1,8 5,2 7,6

8,0 10,0 12,1 9,3 8,4 4,0 5,7

3,1 2,8 6,1 9,0 12,5 11,7 10,2

Вариант №5

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

34,1 33,7 32,4 32,9 31,6 25,4 24,2

37,0 31,0 36,0 34,0 38,0 32,0 35,0

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

9,2 8,4 5,3 6,0 1,7 7,4 2,2

11,3 12,5 10,1 4,8 11,9 3,8 2,5

8,7 1,4 4,2 5,6 10,0 9,5 12,3

Вариант №6

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

64 78 68 76 72 70 79

71 81 76 85 74 73 65

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

7,2 8,4 7,6 1,8 9,1 4,3 6,5

2,7 11,2 12,3 10,4 5,5 9,7 6,7

4,4 11,8 3,5 7,0 1,8 5,2 10,3

Вариант №7

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

3,71 3,68 3,67 3,66 3,65 3,63 3,64

3,62 3,63 3,61 3,60 3,65 3,68 3,64

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,36 0,20 0,18 0,08 0,49 0,42 0,28

0,46 0,26 0,11 0,38 0,07 0,16 0,31

0,23 0,18 0,09 0,32 0,41 0,19 0,53

Вариант №8

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

3,06 3,02 3,05 3,01 3,03 3,04 3,07

3,06 3,05 3,08 3,10 3,11 3,07 3,09

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

66 79 58 38 50 72 48

41 56 76 68 61 46 37

53 48 62 39 71 83 49

Вариант №9

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

0,48 0,57 0,16 0,42 0,90 0,85 0,14

0,93 0,89 0,67 0,23 0,75 0,33 0,12

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,026 0,060 0,018 0,012 0,008 0,042 0,071

0,030 0,028 0,037 0,021 0,007 0,014 0,048

0,032 0,016 0,009 0,040 0,061 0,010 0,053

Вариант №10

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

5,3 11,3 8,7 7,8 10,8 3,6 6,7

7,3 3,3 6,6 3,2 5,6 9,5 6,9

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,5 2,0 0,4 1,5 0,3 2,5 1,2

3,0 0,3 2,2 4,0 2,8 1,6 1,4

1,1 0,2 3,4 1,7 0,1 2,7 2,3

Вариант №11

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

688 795 1333 1099 695 1699 1166

1693 745 1895 1499 650 1775 895

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

8,7 11,8 7,8 9,5 3,2 6,7 4,1

7,3 3,6 5,6 10,8 6,9 2,8 8,4

7,4 11,3 3,3 5,3 6,6 9,1 4,4

Вариант №12

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

154 136 125 133 132 107 91

93 142 115 80 114 120 141

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

45,7 83,5 11,9 16,0 71,2 40,0 13,0

32,0 98,1 79,6 23,9 88,1 25,0 15,8

50,0 41,3 14,4 66,0 22,1 72,5 53,1

Вариант №13

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

6,5 6,1 6,7 6,2 58 6,7 6,0

5,5 4,4 4,8 5,8 4,6 5,9 4,4

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,036 0,040 0,031 0,022 0,018 0,052 0,058

0,070 0,026 0,050 0,028 0,017 0,020 0,081

0,042 0,038 0,019 0,047 0,071 0,024 0,063

Вариант №14

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

6,9 6,4 7,8 6,8 7,9 6,5 5,9

4,0 5,5 4,3 4,7 5,7 5,2 3,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

2,1 3,3 7,4 5,7 8,1 4,2 6,9

2,4 3,8 8,2 7,0 4,7 6,2 5,3

8,6 2,0 7,8 5,5 3,9 6,4 4,3

Вариант №15

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

42,8 49,4 46,1 37,5 37,2 31,1 24,3

28,5 33,1 30,8 37,1 36,2 28,8 30,3

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

4,2 2,9 6,1 7,4 5,8 8,2 3,0

2,2 3,2 7,2 5,6 6,5 8,9 4,3

2,0 3,4 8,7 7,3 4,5 6,0 5,2

Вариант №16

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

38,0 33,2 47,6 41,8 45,6 34,8 33,7

22,7 31,4 38,1 34,1 31,3 36,0 36,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

12,3 5,4 4,0 7,5 2,8 6,2 8,6

9,0 11,0 13,1 10,3 9,4 5,0 6,7

4,1 3,8 7,1 10,0 13,5 12,7 11,2

Вариант №17

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

35,1 34,7 33,4 33,9 32,6 26,4 25,2

36,0 30,0 35,0 33,0 37,0 31,0 34,0

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

10,2 9,4 6,3 7,0 2,7 8,4 3,2

12,3 13,5 11,1 5,8 12,9 4,8 3,5

9,7 2,4 5,2 6,6 11,0 10,5 13,3

Вариант №18

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

65 79 69 77 73 71 80

70 80 75 84 73 72 64

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

8,2 9,4 8,6 2,8 10,1 5,3 7,5

3,7 12,2 13,3 11,4 6,5 10,7 7,7

5,4 12,8 4,5 8,0 2,8 6,2 11,3

Вариант №19

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

4,71 4,68 4,67 4,66 4,65 4,63 4,64

2,62 2,63 2,61 2,60 2,65 2,68 2,64

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,46 0,30 0,28 0,18 0,59 0,52 0,38

0,56 0,36 0,21 0,48 0,17 0,26 0,41

0,33 0,28 0,19 0,42 0,51 0,29 0,63

Вариант №20

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

4,06 4,02 4,05 4,01 4,03 4,04 4,07

4,06 4,05 4,08 4,10 4,11 4,07 4,09

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

67 80 59 39 51 73 49

42 57 77 69 62 47 38

54 49 63 40 72 84 50

Вариант №21

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

0,58 0,67 0,26 0,52 0,10 0,95 0,24

0,83 0,79 0,57 0,13 0,65 0,23 0,02

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,036 0,070 0,028 0,022 0,018 0,052 0,081

0,040 0,038 0,047 0,031 0,017 0,024 0,058

0,042 0,026 0,019 0,050 0,071 0,020 0,063

Вариант №22

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

6,3 12,3 9,7 8,8 11,8 4,6 7,7

6,3 2,3 5,6 2,2 4,6 8,5 5,9

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

0,6 3,0 0,5 1,6 0,4 2,6 1,3

4,0 0,4 2,3 5,0 3,8 2,6 2,4

2,1 1,2 4,4 2,7 1,1 3,7 3,3

Вариант №23

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

8,1 8,0 6,4 7,6 7,2 7,0 7,9

7,1 8,1 7,6 8,5 7,4 7,3 6,5

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

9,2 8,4 4,6 2,8 9,1 3,3 7,5

2,7 1,2 2,3 11,4 15,5 19,7 16,7

4,4 14,8 3,5 17,0 11,8 15,2 1,3

Вариант №24

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

6,5 7,9 6,9 7,7 7,3 7,1 8,0

7,0 8,0 7,5 8,4 7,3 7,2 6,4

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

18,2 8,4 18,6 12,8 1,1 15,3 17,5

13,7 2,2 3,3 1,4 16,5 1,7 6,7

15,4 1,8 14,5 18,0 12,8 16,2 1,3

Вариант №25

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

3,8 3,3 4,7 4,8 4,6 4,8 3,7

2,7 3,4 8,1 4,1 1,3 6,0 3,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

2,3 15,4 14,0 17,5 12,8 8,2 9,6

19,0 1,0 3,1 11,3 19,4 8,0 16,7

6,1 13,8 17,1 11,0 3,5 2,7 9,2

Вариант №26

Исходные данные для выполнения пп.1, 2 практической части:

15,9 15,4 16,8 15,8 16,9 15,5 14,9

15,0 16,5 15,3 15,7 16,7 16,2 14,7

Исходные данные для выполнения пп.3, 4 практической части:

1,12 12,3 16,4 14,7 5,1 13,2 15,9

11,4 12,8 9,2 16,0 13,7 15,2 14,3

17,6 11,0 16,8 14,5 12,9 15,4 8,3

⇐ Предыдущая 1 23

Последнее изменение этой страницы: 2018-05-31; просмотров: 189.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...