Дисперсионный анализ Крускала-Уоллиса

По одному признаку для независимых выборок

Параметрический дисперсионный анализ по одному признаку применяется для поверки совпадения p средних из нескольких нормально распределенных совокупностей, измеряемых в количественных шкалах. Если эти условия не выполняются, то применяется непараметрический метод. В этом случае измерения признака представляются в виде рангов.

Пусть имеется p независимых случайных выборок x_i = (x_i1, …, x_ini), i = 1, …, p, p ≥ 2, причем выборка x_i извлечена из распределения с непрерывной функцией распределения F_i(x), i = 1, …, p. Рассмотрим все n = n₁ + … + n_p выборочных значений, упорядочим их по величине и заменим рангами. Пусть r_ij – ранг выборочного значения x_ij и

(6)

– сумма рангов i-ой выборки, i = 1, …, p.

Критерий Крускала-Уоллиса проверяет гипотезу H₀ о том, что p выборок извлечены из одной и той же совокупности (F₁ = F₂ = F_p) против альтернативы различий в сдвиге, которые могут быть выражены как F_j(x) = F(x –D_j), j = 1, …, p, где параметры D_j не равны между собой.

Критерий Крускала-Уоллиса использует статистику

(7)

На практике часто используют аппроксимацию распределения V распределением c² с k = p-1 степенью свободы (рис.2) или приближением F-распределением.

Рис.2. Критическая область проверки гипотез

для распределения c² 

В этом случае необходимо вначале вычислить статистику

(8)

а затем

(9)

где F_a(p-1, n-p) – a-квантиль F-распределения с k₁= p-1 и k₂= n-p степенями свободы (рис.3).

Рис.3. Критическая область проверки гипотез

для F-распределения

Нуль-гипотеза об однородности p выборок отклоняется на уровне a, если J_V ≥ J_Va.