Элементарные преобразования. Ранг матрицы. Решение однородных систем уравнений.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) перестановка строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответсвующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Пусть в матрице AA размера m×nm×n выбраны произвольно kk строк и kk столбцов (k≤min(m,n)).(k≤min(m,n)). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k,k, определитель которой называется минором k−k−го порядка матрицы A.A.

Максимальный порядок rr отличных от нуля миноров матрицы AA называется ее рангом, а любой минор порядка r,r, отличный от нуля - базисным минором.

Основные методы вычисления ранга матрицы:

Метод окаймляющих миноров.Пусть в матрице найден минор kk-го порядка M,M,отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)−(k+1)− го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M:M: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)−(k+1)−го порядка, и вся процедура повторяется.

Метод элементарных преобразованийоснован на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a11,a22,...,arra11,a22,...,arr (r≤min(m,n)),(r≤min(m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.

Условия совместности системы линейных алгебраических уровнений. Теоремы о числе решений.

(теорема Кронекера – Капелли). Для того чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы А и ранг расширенной матрицы системы (6.1) были равны, т. е. rang A rang r.

Методы Гаусса решения СЛАУ

Принцип метода Гаусса

Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Однородные системы линейных уравнений.