Определители n-ого порядка. Вычисление. Свойства.

Произведение элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца называют членом определителя матрицы А.

Обозначение: .

Здесь первый индекс обозначает номер строки, из которой взят элемент, второй индекс , он в свою очередь имеет нижний индекс , обозначает номер столбца, из которой взят элемент и набор вторых индексов образует перестановку множества .

Т.к. число всех перестановок множества равно , то существует ровно членов определителя.

Каждый член определителя снабдим знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности перестановки вторых индексов. Это можно сделать с помощью множителя , который равен 1, если перестановка четная и тогда число инверсий есть четное число и равен – 1, если перестановка нечетная и тогда число инверсий есть нечетное число.

Определение. Определителем (детерминантом) – го порядка или определителем (детерминантом) квадратной матрицы – го порядка называют алгебраическую сумму всех членов определителя данной матрицы, взятых со своими знаками.

Обозначение:

, (1)

где суммирование ведется по всем перестановкам столбцов.

Пример. Вычислим определитель 3 – го порядка:

.

Выпишем все члены определителя, их ровно 6 штук. Для этого, выпишем сначала все перестановки множества из 3 элементов:

, , , , , и определим их четность:

, , , , , .

Теперь выписываем члены определителя, причем первые индексы (номера строк) образуют начальную перестановку, а вторые индексы (номера столбцов) образуют перестановку, одну из 6 приведенных выше.

, , , , , .

Теперь мы можем записать определитель, как

алгебраическую сумму всех членов определителей, взятых со знаком плюс, если вторые индексы сомножителей, входящих в член определителя, образуют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае:

.

Замечание. Формула (1) определяет отображение из множества всех квадратных матриц n-го порядка над полем K в полеK. Это отображение называется определителем или детерминантом и обозначается

.

Обратная матрица. Определение. Вычисление.

На множестве матриц не определена операция деления, она заменена умножением на обратную матрицу.

Определение

Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется обратной к невырожденной матрице , если , где - это единичная матрица соответствующего порядка.

Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощьюэлементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.