Облегченный способ для матрицы второго порядка

Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:

Шаг 1. Находим определитель заданной матрицы, если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.

Шаг 2. Элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный.

Шаг 3. Делим все элементы на и получаем обратную матрицу.

Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение

Матрица называется союзной к квадратной матрице , если элементы матрицы равныалгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы .

Имеет место следующее свойство:

Тогда, если , то , а тогда

Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она невырожденная.

6.Ранг матрицы. Определение. Вычисление.

Определение - Рангом системы строк называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Теорема - Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Ранг матрицы

Определение - Рангом матрицы называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается rangA

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор -го порядка не равен нулю, а все миноры -го равны нулю, то ранг матрицы будет равен .

Минор

Определение

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам -ой строки определителя равна определителю, в котором вместо -ой строки записана "произвольная" строка.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

7.Элементарные преобразования матрицы. Свойства.

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

1. умножение строки на ненулевое число;

2. перестановка двух строк;

3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

Если от матрицы к матрице перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают .