Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии.

2.5. Построить годограф – линию семейства точек комплексной передаточной функции в диапазоне частот от 0 до ¥ на комплексной плоскости. Указать на годографе точки, соответствующие частотам 0, 1000 1/с., ¥.

5.4. Заменить несинусоидальные кривые u_вх(t), i_вх(t) эквивалентными синусоидами и построить их графики.

1.1.На рисунке 3 представлена схема ИГК. Для нашей схемы выберем индуктивность L₃ в качестве первичной обмотки трансформатора. В данной ветви ток не равен нулю и в ней же отсутствует источник тока.

                                                      Рис. 3. Схема ИГК.

В задании были предоставлены параметры ИГК: e₁=40sin(10³t–45°)B; e₃=40sin(10³t–45°)B; J₂=0.4sin(10³t–45°)A; R₁=60Oм; L₁=20мГн; C₂=100 мкФ;R₂=50 Ом; R₃=40 Ом; L₃=40 мГн. Осуществим перевод в комплексную форму:

Z₁= R₁+ jωL₁=60 + 20j;

Z₂=R₂- j/(ωC₂);

Z₃=R₃+ jωL₃;

e₁=e₃ Ė₁= Ė₃ = 20- 20j;

i_j2 İ_j2= 0.2- 0.2j;

Данные параметры характеризуют комплексную схему замещения (рис. 4)

                       Рис. 4. Комплексная схема замещения.

Теперь для данной схемы можно использовать метод эквивалентного генератора. Суть данного метода заключается в представлении исходной схемы в виде активного двухполюсника, в зажимах которого подключен элемент, через который протекает искомый ток. Для определения этого тока необходимо рассчитать напряжение холостого хода _xx, которое по второму закону Кирхгофа равно ЭДС _экв, и входное сопротивление Z_вх этого двухполюсника.

Разомкнем цепь так, чтобы напряжение на зажимах соответствовало _xx.

Далее по второму закону Кирхгофа составим уравнение (направление обхода указано на рисунке 5).

_xx - ₂ Z₁= ₁+ ₃; (1)

_xx= ₁+ ₃+ ₂ Z₁; (2)

                       Рис. 5. Схема для нахождения _xx.

Подставим числовые значения:

_xx= 20- 20j+ 20- 20j+ (0.2- 0.2j)(60+ 20j)=56-48j;

Ток в данной ветви определяется с помощью напряжения холостого хода _xxи входного сопротивления:

Рис. 6. Входное сопротивление.

Z_вх=Z₁; (3)

Ток в ветви равен:

₃= _xx / (Z_вх + Z₀) = _xx / (Z₁+Z₃); (4)

₃=0.2- 0.6j;

Таким образом, по методу эквивалентного генератора был найден необходимый ток в первичной обмотке трансформатора.

1.2. Найдем мгновенные значения тока ₃ и ₃:

₃=0.2- 0.6j sin (10³ t- 71.57°);

₃= ₃ jωL₃ =24+8j  sin (10³ t + 18.43°);

i₃= sin (10³ t- 71.57°);

u₃=  sin (10³ t + 18.43°);

Построим по найденным мгновенным значениям волновые диаграммы в декартовой системе координат:

Рис. 7. Графики мгновенных значений.

1.3.Определим значенияM₃₄, M₃₅, k₄, k₅ ТР из условия, что индуктивность первичной обмотки известна, U₄= U₁= 5B, U₅= U₂= 10 B. Коэффициент магнитной связи обмоток kбыло рекомендовано выбрать самостоятельно в диапазоне: 0,5 <k<0,95.

Рис. 8. Параметры трансформатора.

Определим значения взаимных индуктивностей М₃₄ и М₃₅, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U₄ и U₅.

X_m=ω M; (5)

А напряжение и ток связаны соотношением:

U=X_m I=ω M I; (6)

Где U, I – амплитудные значения напряжения и тока.

Определим численные значения взаимных индуктивностей:

M₃₄=U₄/ (ω I₃) = (5 / (  = Гн;

M₃₅=U₅/ (ω I₃) = (10 / (  = Гн;

Комплексные напряжения на зажимах повторителя:

₄ = M_{34 3} = 0.2- 0.6j) =  = 4.74+ 1.58j ;(7)

u₄= ;

₅ = -M_{35 3} = 0.2- 0.6j) =                          = -9.49 - 3.16j ; (8)

u₅= ;

Таким образом u₄отстает от u₅на π, то есть они находятся в противофазе.

Для расчета значения индуктивности вторичной обмотки трансформатора используем формулу:

K_mn= M_mn/ (  ); (9)

Пусть L_mизвестно, тогда:

L_n= / (L_m ); (10)

Определим числовые значения индуктивностей и примем K_mn=0.5:

L₄ = / (L₃ );(11)

L₄=6.25 мГн;

L₅= / (L₃ ); (12)

L₅=12.5 мГн;

Расчет установившихся значений напряжений и токов в четырехполюснике при синусоидальном входном воздействии.

2.1. Рассчитаем токи и напряжения методом входной проводимости. Преподавателем были выданы параметры четырехполюсника:

u_вх= ;

R₁=10 Ом; R₂=50 Ом;

R₃=200 Ом; С₁= 100 мкФ;

Рис. 9. Схема четырехполюсника (из задания).

              Осуществим перевод заданных параметров в комплексную форму:

Z₁= R₁ – j/ (ω C₁) = 10 – 10j;

Z₂=50; Z₃=200;

u_вх= ;

_вх=

Точность было решено принять до четырех знаков после запятой, так как только такая точность обеспечит корректность расчетов.

Рис. 10. Комплексная схема замещения четырехполюсника.

Входное сопротивление четырехполюсника рассчитаем, используя известные соотношения для последовательного и параллельного соединения элементов:

; (13)

Z_вх=50 (10-10j) / (60-10j) + 200=209.4595- 6.7568j;

По закону Ома для участка цепи входной ток равен:

_вх= _вх/ Z_вх= 0.0224+0.0083j; (14)

Токи в ветвях:

₁= _вх Z₂ / (Z₁+Z₂)= 0.017+ 0.0097j; (15)

₂= _вх Z₁ / (Z₁+Z₂) = 0.0054- 0.0015j; (16)

Выходное напряжение:

_вых= _вх Z₃=4.4758+ 1.6541j; (17)

2.2. Запишем мгновенные значения u_вх,i_вхи u_вых:

_вх= 0.0224+0.0083j 0.0239 sin( ;

_вх= 0.0239 sin( ;

u_вх= ;

_вых=4.4758+ 1.6541j 4.7717 sin( ;

u_вых= 4.7717 sin( ;

Сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями определяется:

 (18)

Отношение действующих значений:

=9.5434/ 10 = 0.9543; (19)

2.3. Определим выражение для передаточной функции W(s). Данная функция равна отношению преобразования Лапласа Y(s) реакции цепи y(t) к изображению Х(s) входного воздействия x(t), вызвавшему эту реакцию, при нулевых начальных условиях. В данном случае мы будем искать передаточную функцию по напряжению:

W(s)= ; (20)

В формуле:  – преобразование Лапласа реакции цепи (напряжение),  - изображение входного воздействия.

Рис. 11. Схема четырехполюсника в операторной форме.

Передаточная функция равна:

W(s) = ;

I(s) = U₁(s)/ R_вх(s); (21)

W(s) = I(s) R₃/U₁(s) = R₃/ R_вх(s); (22)

Теперь необходимо определить входное сопротивление четырехполюсника в операторной форме:

R_вх(s)= ;(23)

Подставим (23) в (22):

W(s) = ;(24)

Для того, чтобы определить частотные характеристики четырехполюсника перейдем от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье с помощью выражения s=jω. Тогда комплексная передаточная функция по напряжению будет иметь вид безразмерной дробной функцией:

W(s) = ;(25)

2.4. Из выражения (25) определим амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики. Модуль комплексной передаточной функции является амплитудно-частотной характеристикой четырехполюсника, а аргумент - фазочастотной характеристикой.

Преобразуем комплексную передаточную функцию так, чтобы было она имела вид:

W(jω)=W(ω) ; (26)

Подставим числовые значения:

W(jω)= ;

Амплитудно-частотная характеристика W(ω):

W(ω)= ;(27)

Сформируем таблицу точек для более точного построения графика АЧХ:

Построим график АЧХ:

Рис. 12. График АЧХ.

Фазочастотная характеристика φ(ω):

φ(ω)= ; (28)

Сформируем таблицу точек для более точного построения графика ФЧХ (значения функции представлены в радианах):

Максимум функциипри ω=182.6, φ(ω)=0.091;

Построим график ФЧХ:

Выберем

Рис. 13. График ФЧХ.

С помощью АЧХ и ФЧХ определим отношение действующих значений выходного и входного напряжения соответственно, а также сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями. Значение АЧХ в точке ω= 1000 покажет отношение напряжений.

W (1000)= = 0.9543; (29)

А значение ФЧХ при ω= 1000 будет сдвигом фаз.

φ(1000)= =1.833°; (30)

Данные результаты совпадают с расчетами с помощью метода входной проводимости, а это означает, что расчеты, произведенные с использованием передаточной функции верны.

2.5. Построим годограф. Годограф - это линия семейства точек комплексной передаточной функции на комплексной плоскости. На годографе фазой является угол радиус-вектора, соответствующего точке графика, амплитуда есть длина этого радиус-вектора, а частота - параметр кривой.

Рис. 14. Годограф.