Интегралы с бесконечными пределами.

Если функция  интегрируема на отрезке , то несобственным интегралом первого рода от функции  на промежутке  называется  и обозначается , т.е. . Аналогично: .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где - произвольное число, причём интеграл в левой части равенства сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при . Тогда, если  сходится, то сходится и , если  расходится, то расходится и .

2.Если  и , т.е. ~  при , то: 1) при  сходится; 2) при  расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости интеграла .

В задачах 7.205-7.213 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.205 .    7.206 .   7.207 .

7.208 .  7.209 . 7.210 .

7.211 . 7.212 . 7.213 .

В задачах 7.214-7.219,используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.214 . 7.215 . 7.216 .

7.217   7.218    7.219 .

Интегралы от неограниченных функций.

Если функция  интегрируема при  и , то несобственным интегралом второго рода от функции  на отрезке  называется  и обозначается , т.е. . Аналогично, в случае  и : .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при , , . Тогда, если  сходится, то сходится и , если  расходится, то расходится и .

2.Если  и , т.е. ~  при , то: 1) при  сходится; 2) при  расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости  при , , .

В задачах 7.220-7.228 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.220 . 7.221    7.222 .

7.223 . 7.224 .         7.225 .

7.226 . 7.227 .    7.228 .

В задачах 7.229-7.234,используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.229 . 7.230 . 7.231 .

7.232 . 7.233 .       7.234 .

Некоторые приложения определенного интеграла.

Геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь фигуры ,  равна

.

Площадь фигуры ,  равна

.

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми ,  и осью , то её площадь равна , где  и  определяются из уравнений ,  (  на отрезке  ).

Площадь криволинейного сектора , , где  - полярные координаты, равна .

В задачах 7.235-7.238 вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в прямоугольных координатах:

7.235 а) , ;   б) , ;

в) , .

7.236 а) , ; б) , ;  в) , , , .

7.237 а) , , ; 

б) , ; в) , , , , .

7.238 а) , ; б) , ;   

в) , , .

7.239Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точке и осями координат .

В задачах 7.240-7.243 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями: а) заданными параметрически;

                                     б) заданными в полярных координатах.

7.240 а)   (астроида);

     б) ,      (окружности).

7.241 а)  (эллипс) и ;

     б)    (трилистник) .

7.242 а)  (циклоида)и ;

     б)   (кардиоида)

7.243 а)    (кардиоида);                 

     б)  (лемниската).

7.244Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой  и окружностью ).

7.245 Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью  и кардиоидой  (вне кардиоиды).

Длина дуги плоской кривой ,  равна

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , равна .

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , , равна:

.

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .

В задачах 7.246-7.249найти длины дуг следующих кривых:

7.246 а)                  ;

     б)    (астроида);

     в)                                       (кардиоида).

7.247 а) ;

     б)

     в)                                              (окружность).

7.248 а) ;

     б)  (циклоида)

     в)                        (спираль Архимеда).

7.249 а) ;

     б) ;

     в)                  (гиперболическая спираль) .

7.250На циклоиде  найти точку , которая делит длину первой арки циклоиды в отношении , считая от начала координат.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси  дуги кривой , , равна    .

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси  дуги кривой , , равна .

При параметрическом задании дуги кривой , , , площадь поверхности вычисляется по формулам:

, .

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси (оси ) дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .

В задачах 7.251-7.253найти площади поверхностей, образованных вращением кривых  вокруг указанной оси.

7.251 а) ,  вокруг оси ;

     б)  (циклоида) вокруг оси ;

     в)  (кардиоида) вокруг полярной оси.

7.252 а) ,  вокруг оси ;

      б) (эвольвента окружности)

        вокруг оси ;

      в)  (окружность) вокруг полярной оси.

7.253 а) ,  вокруг оси ;

      б)   вокруг оси ;

      в)  (окружность) вокруг полярной оси.

Если  - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси , в точке с аппликатой , то объём этого тела равен , где  и  - аппликаты крайних сечений тела.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси  плоской фигуры ,  равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси  плоской фигуры , , равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры , , равен .

7.254Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

а) , ; б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

В задачах 7.255-7.260 вычислить объемы тел, полученных вращением плоской фигуры Ф , ограниченной указанными линиями вокруг: а) оси ; б) оси .

7.255 Ф: .

7.256 Ф: . 7.257 Ф: .

7.258 Ф: .

7.259Ф:    

7.260 Ф:  ,  (циклоида).

7.261Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями , , , .

7.262Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием  и высотой  вокруг высоты.

Приложения определенного интеграла к решению             некоторых задач механики, физики и экономики.

Статические моменты  и , моменты инерции  и , масса , координаты  и  центра масс  дуги кривой ,  относительно осей  и  вычисляются по формулам:

, ,

, ,

, , .

При параметрическом задании дуги кривой , , : , ,

, .

Путь , пройденный телом со скоростью  за отрезок времени , равен .

Работа  переменной силы , действующей вдоль оси  на отрезке , равна .

Объём продукции , произведённой за отрезок времени  при производительности , равен .

Издержки производства  при известной функции издержек  и заданном изменении объёма  производства  равны

7.263Найти статический момент синусоиды  относительно оси Ох.

7.264Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой .

7.265Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.

7.266Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды .

7.267Найти координаты центра масс дуги окружности , расположенной в первой четверти.

7.268Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной выше оси Ох.

7.269Найти массу стержня длины , если линейная плотность стержня меняется по закону  (кг/м3) , где  - расстояние от одного из концов стержня.

7.270Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой  (м/сек). Найти путь , пройденный телом за  от начала движения.

7.271Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте телом за , если известно, что скорость свободного падения в пустоте определяется формулой , где - начальная скорость тела, - ускорение свободного падения.

7.272Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , без учета сопротивления воздуха равна , где t- протекшее время, g- ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимется тело?

7.273Какую работу надо затратить (в ), чтобы растянуть пружину на , если сила в  растягивает её на  (Указание: по закону Гука сила прямо пропорциональна растяжению пружины).

7.274Сила тока, измеряемая в амперах, определяется формулой . Найти количество электричества (в кулонах), протекшее через поперечное сечение проводника за , считая время от начала опыта.

7.275Найти количество тепла , выделяемое переменным током  за время  в проводнике с сопротивлением  (Указание: по закону Джоуля-Ленца количество тепла, выделяемой постоянным током за время , равно ).

7.276Сила переменного тока меняется по закону , где -период. Найти среднее значение силы тока за полупериод .

7.277Найти среднее значение издержек производства некоторой продукции при заданном изменении объёма производства , если функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;

б) , .

7.278Доход от инвестиций в некоторое производство равен нулю в течение первого года, а затем изменяется по закону , где - время в годах. Найти среднее значение дохода от инвестиций в течение первых пяти лет.

7.279Найти среднее значение издержек производства и объём продукции , при котором издержки, задаваемые функцией ,  принимают среднее значение.

7.280Определить объём продукции, произведённой рабочим за указанный промежуток времени рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией : а)за пятый час рабочего дня; б)за первые 3 часа рабочего дня.