Интегрирование  основных    классов  элементарных                                               

Основные методы вычисления неопределённого интеграла.

В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:

7.1 а) ; б) ; в) .

7.2 а) ; б) ;   в) .

7.3 а) ;          б) ; в) .

7.4 а) ;          б) ; в) .

7.5 а) ;    б) ; в) .

7.6 а) ;       б) ; в) .

7.7 а) ;   б) ;    в) .

7.8 а) ;       б) ;  в) .

7.9 а) ;         б) ; в) .

7.10 а) ; б) ;в) .

7.11 а) ; б) ;в) .

Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интеграла  к нахождению более простого интеграла  с последующей заменой .

Существуют два варианта замены переменной интегрирования:

1) Метод подведения функции под знак дифференциала.

Если подынтегральное выражение  может быть записано в виде

, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена .    Тогда

.

При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:

        ;      ;

, .

2) Метод подстановки.

Если функция  дифференцируема и имеет обратную  на соответствующем промежутке, то справедливо равенство

.

Функция  подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала,найти следующие интегралы

7.12  а) ;    б) ;           в) .

7.13  а) ;    б) ;         в) .

7.14 а) ;        б) ;          в) .  

7.15 а) ;         б) ;        в) .

7.16 а) ;    б) ;   в) .

7.17 а) ;           б) ;     в) .          

7.18а) ; б) ;       в) .

7.19 а) ;            б) ;    в) .

7.20 а) ;          б) ;      в) .

7.21 а) ;          б) ;    в) .           

В задачах 7.22-7.30сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:

7.22 .     7.23 .  7.24 .

7.25 .      7.26 .    7.27 .

7.28 .  7.29 .     7.30 .

В задачах 7.31-7.45применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

7.31 а) ;    б) ;    в) .

7.32 а) ; б) ; в) .

7.33 а) ;            б) .

7.34 а) ;  б) ; в) .

7.35 а) ;    б) .

7.36 .  7.37 .       7.38 .

7.39 .     7.40 . 7.41 .

7.42 .    7.43 .                7.44 .

7.45 .     7.46 .     7.47 .

7.48 .  7.49 .  7.50 .

Если  и  - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

или кратко .

Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражение  можно так представить в виде , что интеграл  может оказаться проще интеграла .

Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,

, , , причём в качестве  выбирается ; 2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , причём в качестве  выбирается одна из указанных выше функций; 3) интегралы вида , , , , посредством двукратного интегрирования по частям.

Указанные три группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.

В задачах 7.51-7.63 применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

7.51 а) ; б) .

7.52 а) ;  б) .

7.53   а) ; б) .

7.54 а) ; б) .

7.55 а) ;  б) .

7.56 а)            б) .

7.57   а) .       б) .     

7.58 .        7.59 .  7.60 .

7.61 .  7.62 .    7.63 .

В задачах 7.64-7.69 применяя различные методы интегрирования, найти следующие интегралы:

7.64 .  7.65 .      7.66 .

7.67 . 7.68 .       7.69 .        

Интегрирование  основных    классов  элементарных                                               

функций.

  Вычисление интегралов вида  и , выделяя в квадратном трёхчлене  полный квадрат  и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 4) и интегралов вида  и , которые сводят к табличным заменой переменной  .

Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.

В задачах 7.70-7.80 найти следующие интегралы от функций, содержащих квадратный трёхчлен:

7.70 . 7.71 . 7.72 .

7.73 .    7.74 .      7.75 .

7.76 .     7.77 . 7.78 .  

7.79 .     7.80 .

Рациональной дробью называется рациональная функция вида . Если , то дробь неправильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где ,  -многочлены от , причём . Выделение целой части (многочлена ) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида , , , , причём трёхчлен  не имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателя  дроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).

Каждому линейному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из  простейших дробей вида . Каждому квадратичному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из  простейших дробей вида .

Неизвестные постоянные , ,  в разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей определяют методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочлена   приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять , , , подставляя в равенство, полученное приравниванием числителя  к числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю , вместо  некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя ) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.

Интегрирование простейшей дроби , выделением полного квадрата  и заменой , сводят к вычислению интеграла вида . Для вычисления такого интеграла используют подстановку .

В задачах 7.81-7.90 найти следующие интегралы от рациональных функций:

7.81 а) ; б) ; в) .

7.82 а) ;   б) ;       в) .

7.83 а) ;      б) ; в) .

7.84 а) ; б) ; в) .

7.85 а) ; б) ;   в) .

7.86 а) ; б) ;     в) .

7.87 а) ;   б) ; в) .

7.88 а) ;         б) ; в) .

7.89 ; 7.90 .

Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов  и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы: , , .

Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:

1) , если , при этом: , ;

2) , если , при этом: , ;

3) , если или , при этом: , , ;

4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .

Интегралы вида , где ,  - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .

Интегралы вида , , вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:

;

;

.

В задачах 7.91-7.118 найти следующиеинтегралы от тригонометрических функций:

7.91 . 7.92  . 7.93 .

7.94 . 7.95 .    7.96 .

7.97 .    7.98 .     7.99 .

7.100 .    7.101 .      7.102 .

7.103 .  7.104 .

7.105 .  7.106 . 7.107 .  

7.108 .           7.109 . 7.110 .     

7.111 .            7.112 .     7.113 .     

7.114 .        7.115 . 7.116 . 

7.117 . 7.118 .

Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:

; ; ; .

В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:

7.119 .           7.120 .          7.121 . 7.122 .            7.123 .    7.124 .       

7.125 .       7.126 .       7.127 .  

7.128 . 7.129 . 7.130 .

Интегралы вида , где  -рациональная функция своих аргументов,  -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где  - наименьший общий знаменатель дробей .

Вычисление интегралов вида , где  -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене  и заменой , сводится к вычислению интегралов вида:

1) ; 2) ; 3) ,где - рациональная функция своих аргументов.

Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:

1)  или ;

2)  или ;

3)  или

приводятся к интегралам вида  или , где - рациональная функция своих аргументов

В задачах 7.131-7.140 найти следующие интегралы от иррациональных функций:

7.131 а) ; б) ;       в) .

7.132 а) ;      б) ;  в) .

7.133 а) ; б) ;          в) .

7.134а) ; б) ;в)

7.135 а) ;   б) ; в) .

7.136 . 7.137 . 7.138

7.139 .                 7.140 .