Определённый интеграл и методы его вычисления.

К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми , ,  и кривой . Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше оси  берётся со знаком «+», и ниже её – со знаком « » и называется определённым интегралом от функции  на отрезке . Определённый интеграл обозначается , где числа ,  называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Функция , для которой на отрезке  существует определённый интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции  на отрезке  является её непрерывность на данном отрезке.

Если функция  интегрируема на , то, по определению, полагают

, .

Основные свойства определённого интеграла:

1. . 

2. .

3. .

4.Если  на , то .

5.Если  непрерывна на отрезке ,  - наименьшее,  - наибольшее значения  на , то  (теорема об оценке определённого интеграла) .

6.Если  непрерывна на отрезке , то существует точка  такая, что справедливо равенство  (теорема о среднем значении). Число  называется при этом средним значением функции  непрерывной на отрезке .

Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).

Если функция  непрерывна на отрезке  и - одна из её первообразных, то справедливо равенство:

 (формула Ньютона-Лейбница).

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле.

Если функции  и  непрерывно дифференцируемы на , то  (формула интегрирования по частям).

Если функция - непрерывно дифференцируема на отрезке  и функция  непрерывна на отрезке , где ,  (  -образ отрезка , т.е. отрезок для которого  при всех ), то

 (формула замены переменной).

В формуле замены переменной в определённом интеграле, вообще говоря, не предполагается монотонности функции . При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.

При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.

7.181Используя теорему об оценке определённого интеграла, оценить следующие интегралы:

 а) ;        б) ;   в)

7.182Не вычисляя интегралов, определить, какой из интегралов больше:

а)  или ;     б)  или

7.183Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

а)  на ;                            б)  на ;

в)  на ; г)  на .

7.184Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона-Лейбница приводит к неверным результатам:

        а) ;                   б)

7.185Можно ли в интеграле  положить .

7.186Доказать, чтодлянепрерывной на отрезке  функции  имеем: 1) ,       если - нечётная функция;

                 2) , если - чётная функция.

7.187Доказать, чтоесли  -непрерывная периодическая функция, определённая при  и имеющая период , то        , где - любое число.

7.188Доказать справедливость следующих равенств:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

7.189Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .

В задачах 7.190-7.204 вычислить следующие интегралы:

7.190 а) ; б) ; в) .

7.191 а) ;  б) ;         в) .

7.192 а) ; б) ; в) .

7.193 а) ; б) ; в) .

7.194 а) ; б) ; в) .

7.195 а) ;  б) ;       в) .

7.196 а) ; б) ;          в) .

7.197 а) ; б) ; в) .

7.198 а) ; б) ;   в) .

7.199 а) ; б) ;     в) .

7.200 а) ;        б) ;   в) .

7.201 а) ;   б) ;         в) .

7.202 а) ; б) ; в) .

7.203 а) ; б) ; в) .

7.204 а) ; б) ; в) .

Несобственные интегралы.