Пифагор и поклонение числам

Стефен Скиннер – священная геометрия. Расшифровывая код

Www.e-puzzle.ru

СВЯЩЕННАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

СВЯЩЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Расшифровывая код

Стефен Скиннер

Кладезь-Букс

УДК 00 lib К 20

С42

Перевод с английского В.Е. Вснюковой Ответственный редактор Н.С. Самбу

First published in Great Britain in 2006 by Gaia Books, a division of Octopus Publishing Group Ltd 2-4 Heron Quays, London F.14 4JP.

Bee права защищены. Ни одна из частей данного издания не моукет быть воспроизведена в какой-либо форме, включая фотокопировальные средства или системы хранения данных на электронных носителях.

ISBN 978-5-93395-215-2 (русск.) ISBN 978-185675-262-6

© Octopus Publishing Group Ltd, 2006 © Издательство «Кладезь-Букс» (русское издание), 2007

Оглавление

Введение

Часть і скрытый порядок

ГЛАВА 1Чистая арифметика

ГЛАВА 2Чистая геометрия

ЧАСТЬ 2 ГЕОМЕТРИЯ ПРИРОДЫ

ГЛАВА 3Геометрия жизни

ГЛАВА 4Геометрия в астрономии и космологии

ЧАСТЬ 3 ГЕОМЕТРИЯ РУКОТВОРНОГО МИРА

ГЛАВА 5Священная геометрия и древние постройки

ГЛАВА 6Священная геометрия в архитектуре

ГЛАВА 7Священная геометрия в искусстве

Заключение

Указатель

Введение

Геометрия — слово греческого происхождения, которое буквально означает «измерение земли». Задолго до появления бумаги геометрию использовали для измерения полей — в наши дни это называют геодезией. К геометрии относятся измерение и строительство зданий и определение границ земельных участков. На более возвышенном уровне геометрия проводит границы между мирским и священным.

Древнегреческий математик Евклид (325—265 до н. э.) первым подробно изложил аксиомы и теоремы этой удиви­тельной науки. То, что он писал в «Началах» о планиметрии, верно до сих нор. Даже 2000 лет спустя никто не сумел превзойти его. Но какая еще геометрия, возможно, более тайная, священная, дошла до наших дней, скрытая в форме зданий или творениях природы?

Конечно, не вся геометрия священна. К этой науке обращались при поиске мест и строительстве зданий, благоприятных для живущих в них людей. Геометрия становилась «священной», когда она была угодна богам. Например, храм мог быть особо почитаемым, если строился с учетом священных пропорций и имел специфическую ориентацию относительно сторон света. Важность пропорций и направления настолько часто встречается у разных народов, что не может не отражать реальности. В этой книге я хочу провести исследование тех особых измерений, которые делали священными самые разные строения — от мегалитов Железного века, древнегреческих и египетских храмов до соборов эпохи Возрождения и совремецных органических зданий.

Почему геометрия священна

Для пифагорейцев числа были священны. Греки вообще почитали геометрию как самую конкретную и одновременно самую абстрактную форму рассуждений. Как мы еще увидим, геометрия — это архетипическая структура множества (а возможно, даже всех) вещей: ноуменальных (таких, существование которых можно постичь только умом), абстрактных, математических, природных и архитектурных.

Почти все древние народы создавали храмы и другие священные постройки, тщательно рассчитывая их геометрию и пропорции. Геометрия правила даже движением небесных гел и сменой времен года. И строители британских мегалитов, и архитекторы египетских пирамид использовали священную геометрию для размещения и ориентации своих творений.

Геометрия в своей чистейшей и простейшей форме священна. И при этом она основана на обычной геометрии и фигурах Евклида: кругах, треугольниках, квадратах, а также на пропорциях и гармониках. Гармония — основа архитектурного искусства.

А что есть гармония, как не повторение (порой подсознательное) одинаковых пропорций? 11ри этом части целого не обязательно имеют одинаковые пропорции, а могут быть гармоникой этой пропорции.

Священные пропорции управляются определенными числами, например фи (Ф), известным как «золотое сечение». Они постоянно встречаются в работах древнегреческих авторов, готических архитекторов Средневековья и даже в природе. Эти числа объединяют священную геометрию живого и перспективу искусства и архитектуры.

Изучение священной геометрии

Древнегреческая цивилизация первой ввела изучение священных чисел и геометрии, хотя основы, вероятно,

ВНИЗУ. Лямбла Пифагора показывает связь четных чисел и интервалов нотной гаммы, составляющих гармоническую систему.

были позаимствованы в Древнем Египте.

В раннем Средневековье эти знания сохранялись в арабских странах, а в XII веке стали возвращаться в Западную Европу в виде переводов арабских и греческих текстов на латинский язык.

В Средние века базовый университетский курс назывался тривиум (что означает «три предмета») и включал грамматику, риторику и логику. Более продвинутый курс, который именовался квад- ривиум, свидетельствовал о важности геометрии. Он состоял из четырех предметов: геометрии, арифметики, астрономии и музыки. Всех их объединя- ли Евклидова геометрия и числа Пифагора (569 — ок. 475 до н. э.). Музыка в то время считалась арифметической наукой — арифметикой, которую можно услышать: точные арифметические промежутки между соседними нотами определяют гармонию. Астрономия использовала арифметику для расчета движений небесных тел. А геометрия определяла взаимосвязь трех вышеназванных дисциплин. Мы рассмотрим некоторые тайны квадривиума, который больше не изучается в университетах и значение которого, но большому счету, забыто.

Конечно, вокруг исследований священной геометрии, особенно проведенных за последние 30 лет, создавались весьма странные теории. Как писал в книге «Золотое сечение» всемирно известный астрофизик Марио Ливио, геометрические фигуры можно увидеть на карте любого города, но если их основные вершины не приходятся па конкретные физические точки, то выводы, сделанные на основании таких фигур, в лучшем случае спорны, а в худшем — полная ерунда.

Потребность в целых числах

В Египте и Древней Греции для определения гармоничных пропорций храмов и пирамид использовались круг, эллипс, треугольник, квадрат и прямоугольник. Геометры (по многим причинам) интересовались прямоугольными треугольниками Пифагора, квадратными корнями, квадратурой круга, точными соотношениями священных чисел и размерами различных зданий.

Всегда и везде, от пирамид Древнего Египта до готических соборов Средневековья, огромное значение придавалось целым числам, которые было просто измерять. В меньшей степени использовались иррациональные числа, например, золотое сечение (обозначавшееся греческой буквой фи — Ф), которое лежит в основе логарифмической спирали — одной из основных кривых жизни и роста.

Пифагорейцы доказали, что целые числа лежат в основе творения и определяют гармонию — и в музыке, и в ne

бесных сферах. Но пришлось ждать Иоганна Кеплера (1571-1630), который подтвердил это положение, открыв точные соотношения периода и диаметра планетарных орбит. Английский архитектор Кристофер Рен (1632—1723) подтвердил астрономические пропорции и воплотил священную геометрию в соборе Святого Павла в Лондоне.

Повторяющиеся схемы

Древнегреческий философ Платон (427—347 до н. э.) считал, что все вещи вырастают из форм — простых неизменных трехмерных фигур, которые образуют основу реальности. Его идеи долгое время считались мистическими, но сегодня физики и биологи доказали огромное значение простых форм и чисел, открыли базовые формулы - например, структуру ДНК (основанную на геометрии спирали и пятиугольника), схему роста листьев растений (основанную на постоянстве геометрического угла).

Римский архитектор Витрувий (1 в. до н. э.) описал математические пропорции и гармонию при строительстве зданий. І Іозднее его работы были заново открыты в Европе и использовались в эпоху Возрождения такими мастерами, как Леонардо да Винчи (1452-1519) и Донато Браманте (1444-1514), которые были не только архитекторами, но и художниками и геометрами.

Священная геометрия также процветала в странах исламского мира, где были запрещены изображения людей и животных. Способом геометрического выражения стали изразцы, мозаики и архитектурные детали: купола, полукупола, цилиндрические своды, подковообразные арки и сталактиты (мукарны).

Готическая архитектура заимствовала и элементы греческой геометрии, и пропорции Витрувия. Мастера-каменщики строили здания с учетом геометрической и численной символики. Удивительно, но базовой контрольной фигурой готических соборов стал круг, а не квадрат или треугольник, как часто полагают. Числовая символика была широко распространена, круги, прямоугольники и другие многоугольники строились с гармоничными, «небесными» пропорциями.

Эпоха Возрождения пробудила интерес к классическим теориям. Работы Аристотеля вызывали разгоряченные споры: теологи пытались примирить его экспериментальный подход к миру с официальной космологической доктриной Птолемея. Как ни странно, это было противостояние не христианских догм и греческой философии, а двух греческих мировоззрений: Птолемея, за которого стояла христианская церковь,

и Аристотеля, которого поддерживали гуманисты.

Герметические тексты, переводы греческих и арабских трудов стимулировали интеллектуальное развитие.

Такие мыслители, как Леонардо, рассматривали живопись, архитектуру и анатомию в одном ракурсе, используя каждую для познания других. Гармония в архитектуре может основываться на пропорциях человеческого тела или на проективной геометрии перспективы. Микеланджело (1475—1564) говорил, что для понимания архитектуры необходимо знание человеческого тела. Итальянский архитектор Леон Альберти (1404—1472) отмечал, что здание в целом должно казаться единым организмом. Практичный Леонардо воспроизвел homo quadratus Витрувия, чтобы проверить, является ли локоть правомерной единицей измерения.

Повторяющиеся в природе схемы и формы, например, раковина моллюска или логарифмическая спираль, геометрия роста растений и фракталы, суть производные внутренней геометрии роста. Леонардо любил наблюдать за живыми структурами и зарисовывал их — человеческое тело, крылья птиц, деревья, волны, течение воды. Его тезка Леонардо Пизанский (ок. 1170 —ок. 1240) открыл последовательность чисел, которые впоследствии получили название чисел Фибоначчи. Понадобилось долгое время, чтобы стало понятным их применение в наблюдении за повторяющимися схемами природного роста.

Органические формы повлияли на архитектуру. Пример тому — собор Антонио Гауди в Барселоне и такие направления искусства, как ар нуво и сюрреализм. Их кульминацией можно назвать сложную геометрию зданий - например Гётеанума в Швейцарии и Оперы в Сиднее. Культура в определенной степени заняла место религии в качестве покровительницы священной геометрии.

Мост между богами и человеком

Назначение храма — создать для людей священное пространство, где они смогут общаться со своими богами и поклоняться им. Это место приближено к божесгву, оно облегчает молитву и принадлежит служителям культа. Однако воистину священным оно становится,

когда его структура достаточно совершенна, чтобы в нем мог поселиться бог.

Главными требованиями к священному пространству всегда были соответствующие пропорции здания, его правильное местоположение и ориентация. Давайте рассмотрим их, начиная с последнего.

Направление фасада здания всегда имело большое значение: мечети ориентированы на Мекку, а индуистские храмы (в основном) и христианские церкви (как правило) - на восток. Есть, правда, исключения — например, Шартрский собор во Франции смотрит на северо-восток. Мегалиты, например Стоунхендж в Англии (тоже ориентированный на северо-восток), в этом смысле менее однозначны: они связаны с соседними постройками, леями и астрономическими знаками, а также с Солнцем и Луной. Для понимания символики подобных сооружений необходима священная геометрия.

В прошлом большое значение придавалось расположению храмов и мегалитических камней в «местах силы». В императорском Китае использовался фэн- шуй (который снова набирает популярность в наши дни), чтобы найти сюэ — «место дракона», придававшее максимальную энергетику значимым строениям, особенно дворцам, храмам и захоронениям.

Раннехристианская церковь зашла так далеко, что издавала приказы: при любой возможности новые церкви размещать на прежних языческих «точках силы». Это объяснялось тремя причинами: священники получают силу, приверженцы прежнего культа будут приходить на то же место, а артефакты языческой религии уничтожаются.

И наконец, главное — само здание должно подчиняться ряду геометрических правил. Эти правила подробно описаны — например, точные размеры первоначального храма Соломона в Иерусалиме встречаются в Библии как минимум два раза.

Последующая перестройка этого храма вызвала дискуссии о священной геометрии здания. В Викторианскую эпоху такие авторы, как Уильям Стерлинг, писали целые трактаты о священных размерах храма. В свою очередь, на этих записанных в Библии размерах основывалась архитектура готических соборов.

Греки, будучи основными изобретателями геометрии, активно ее применяли при постройке собственных храмов. Греческая архитектура не всегда основывалась на пресловутом золотом сечении, а как, например, в случае с Парфеноном, использовала простые дроби и размеры. В Египте священная геометрия Великой пирамиды больше опирается на меру се кед (см. с. 117), чем на золотое сечение, хотя последнее гам тоже применялось. Что удивительно, священная геометрия иудеев, греков и египтян имеет общие коэффициенты и единицы измерения.

Конечно, эта геометрия священная еще и потому, что на ней часто основаны творения Господа — от структуры кристаллов и течения рек до разворота пальмового листа и роста аммонита в раковине — или просго процесса роста всего живого.

Продолжение традиции

За последние несколько сотен лет делалось много попыток подогнать священную геометрию к Великой пирамиде в Гизе, включая совершенно искаженные толкования Библии, основанные на до-

лях дюйма. Только в конце XX века стало понятно, что измерения, выраженные в египетских королевских локтях, согласуются с простой геометрией Евклида.

Тщательное изучение и измерение европейских мегалитов (по древности не уступающих египетским пирамидам) и связывающих их леев тоже ясно показывает священную геометрию, которая измеряется целыми числами мегалитических ярдов.

Из всего этого следует недвусмысленный вывод: люди древности были не менее умны, чем наши современники. Мы до сих пор не понимаем, не ценим и не применяем в полной мере геометрию, использованную ими при постройке зданий (которые стоят тысячелетиями — при средней продолжительност и жизни современного здания около 100 лет). Эта геометрия, которую много веков назад изложил Евклид, только сейчас начинает рассматриваться как часть основы жизненного устройства и неотъемлемая составляющая способа творения Великого Геометра.

СЛЕВА. Землемеры XIII века проводят измерения при помощи прямоугольных треугольников и метода триангуляции.

ЧАСТЬ 1

СКРЫТЫЙ ПОРЯДОК

Греки первыми систематизировали геометрию. Для них это была чисто абстрактная наука сродни логике, основанная на истинах, в отличие от практического подхода египтян. Геометрия давала грекам абсолютную истину, которую молено было снова и снова доказывать при помощи простейших инструментов - циркуля и линейки.

Греки рассматривали создателя Вселенной с позиций абсолютной истины, а не пришедших извне догм, сторонней мудрости или религиозных убеждений. Они пришли к выводу, что для Вселенной необходимы формы и числа, что творение проистекает от абстрактных форм - того, что моЖно понять разумом, но что не улавливается и не воспринимается пятью органами чувств, — к физической реальности. Тонкость чисел и абсолютность геометрии были частью ноуменал ьного мира, скрытой основы физической материи.

Геометрия и числа священны, потому что они систематизируют скрытый порядок творения. Это - инструменты, при помощи которых создавалась физическая Вселенная. Простота чисел, дробей и пропорций дает гармонию и интеллектуальную строгость как Вселенной, так и геометрии Евклида и его собратьев-греков. Музыка и измерения воплощают — и доказывают! - точность применения и универсальность этих чисел.

Глава 1

Пифагор занимает почетное место первого философа, который недвусмысленно заявил, что числа священны и существуют сами по себе. Он провел различия между группами чисел, выделив простые и совершенные числа. Он разделил четные и нечетные числа и создал лямбду (X). Свойства этой фигуры до сих пор вдохновляют современных математиков и физиков на новые открытия в периодической системе элементов Менделеева и во всей Вселенной.

Пифагор открыл, что целые числа управляют музыкальной гармонией, и это убедило его, что за сложной Вселенной стоят гармония и планирование. Он предположил, что если целые числа порождают гармоничные звуки, в отличие от диссонирующих, то числа же должны стоять за гармонией Вселенной на всех уровнях — от движения планет до колебаний струн лиры.

Чтобы определить важные числа, на которых основаны размеры какого-ли- бо здания, археологам необходимо знать, какие единицы измерения использовали его создатели. Мы рассмотрим ^^замечательное число, которое дает самовоспроизводящееся золотое сечение. Оно снова и снова встречается как в природе, так и в священной геометрии множества зданий.

Пифагор и поклонение числам

Пифагор объявил, что числа священны: они обладают независимым реальным существованием, а не просто используются Зля удобства счета. Последовательности чисел, будь то в музыке, астрономии или архитектуре, тоЖе священны. Эта идея леЖит в основе священной геометрии.

По сути, Пифагора моЖно назвать «отцом священной геометрии».

П,

[ифагор (569 — ок. 475 до н. э.) родился на острове Самос в Эгейском море. В зрелом возрасте он поселился в греческой колонии Кротон в Южной Италии; 20 лет провел в Египте, где учился математике и философии. Вероятно, Пифагор посещал и Вавилон, где общался с халдейскими математиками.

Без сомнения, Пифагор — первый из исследователей мистических свойств чисел. Теорему, названную его именем, он, скорее всего, узнал в Египте или Вавилоне. Она позволяет определить длины сторон любого прямоугольного треугольника (см. с. 44-45). Пифагор доказал, что сторона, противоположная прямому углу (гипотенуза), возведенная в квадрат, равна сумме квадратов двух других сторон (катетов).

Нарисуйте прямоугольный треугольник, катеты которого (а и Ь) равны ровно одной и двум частям соответственно. Теперь вы можете определить длину гипотенузы по теореме Пифагора:

Длина гипотенузы² = катет а² + катет ІУ

Чтобы найти длину гипотенузы, возведите в квадрат длины обоих катетов и сложите их:

Гипотенуза² = I² + 2² = 1 + 4 = 5 Следовательно, гипотенуза = квадратный корень из 5 (или V5 = 2,2360679)

Мы видим, что геометрия и арифметика неразрывно связаны. Если вы измерите стороны нескольких прямоугольных треугольников, то вскоре заметите, что этой теореме соответству-

ег несколько типичных целых решений, которые называются тройками Пифагора.

Тройки Пифагора считались важными магическими числами. Их находят на вавилонских глиняных табличках, датируемых еще 1600 годом до н. э.

В стремлении понять природу гармонии, а следовательно, устройство Вселенной Пифагор изучал смежные дисциплины, например музыку, и открыл арифметику музыкальных интервалов и нотных тональностей (см.

с. 22-23).

Пифагор предположил, что если числа могут полностью передавать гармонию музыки, то они также могут передавать и гармонию космоса в целом. Дальнейшие доказательства он получил в виде математической (достаточно сложной) закономерности движения планет и других небесных тел (хотя Пифагор рассчитывал эти орбиты не как эллипсы). Пифагор также отождествил девять греческих муз с движением и звуками девяти небесных тел (семи планет, сферы неподвижных звезд и загадочного концепта, называемого Противо- землей).

Священный тетрактис

Примером того, как последовательность чисел начинает считаться священной, является тетрактис (букв, «четверка». — Прим. перев.), где пифагорейцы представляют четыре первых числа (1, 2, 3, 4) в форме треугольника.

Треугольники — самые стабильные геометрические фиг уры. В основе тет- рактиса ггаходится 4 (в теории пифаг орейцев число справедливости и порядка). По легенде, в этой фигуре был скрыт пароль, по которому пифагорейцы узнавали друг друга.

Сложение чисел в каждой строке те- трактиса (1 +2 + 3 + 4) дает десятку (10), которая считалась завершением полного цикла. Тетрактис используется в десятичной системе, Каббале, китайской теории о Небесных Стеблях и в ряде других учений.

Лямбда и мировая гармония

Двенадцатая буква греческого алфавита — лямбда (А.), похожая на перевернутую V. В фигуру лямбды пифагорейцы вписывали семь чисел (1, 2, 3, 4, 8, 9 и

27 — см. с. 19). Этот треугольник символизирует многие вещи:

• С левой стороны лямбды стоят четные числа (за исключением единицы, которую было бы правильнее поместить в вершину). Их называют женскими числами, потому что они подразумевают двойственность и, следовательно, обладают способностью разделяться и воспроизводиться. У большинства народов женское начало, как правило, ассоциируется с левой стороной.

• Стоящие с правой стороны нечетные числа - мужские. Древние китайцы также придерживались взглядов, что творение началось с (мужского) числа один, которое разделилось надвое, образовав Инь и Ян и создав равновесие полов. Мужское начало традиционно ассоциируется с правой стороной.

• Числа с левой стороны кратны двум, точнее, представляют собой степени двойки.

• Правая сторона лямбды — степени тройки.

•

• В диалоге « І имей» І Ілатон с помощью лямбды объяснял нотную гамму (см. с. 22-23).

Лямбда в эпоху Возрождения

В эпоху Возрождения лямбда имела большое значение. Гравюра на с. 20, датируемая 1525 годом, показывает разные типы арифметики. Центральная

СПРАВА. Сравнение лямблы с нотной гаммой (авторства Франческо Ажиорджи, монаха-фран- иисканиа из Венеиии). Z читается как 2.

женская фигура изображает саму Арифметику. У псе над головой (в традиционной манере Возрождения) на полосе ткани надпись Тур us arithmeticae («типы арифметики»). Их символизируют двое мужчин, сидящих за столами. Справа — Пифагор (внимательно рассмотрите надпись над ним), который использует для счета камни. Слева — Боэций, который считает при помощи новых, арабских/индийских, чисел. На платье женщины изображена лямбда, объединяющая оба способа счета.

В эпоху Возрождения многие мыслители пытались синтезировать элементы классической греческой культуры, пришедшие в Европу в конце 1 тысячелетия благодаря переводам греческих трудов на арабский язык. Греческие оригиналы погибли в волнах варваров и христианского фанатизма, захлестнувших Европу после падения Римской империи. На рисунке внизу вы видите связь лямбды с интервалами нотной гаммы. Он взят с гравюры Франческо Джиорджи (1466— 1540) из книги «De harmonia mundi» («О мировой гармонии»), вышедшей в 1525 году.

Удивительные тайны лямбды

При взгляде на лямбду рано или поздно возникает вопрос: почему І Іифагор ограничился семью числами? Потому что семь — магическое число? Может быть, он, будучи мудрым учителем, хотел, чтобы мы задумались, что идет дальше? Хотя очевидно, что с каждой стороны будет 16 и 81 соответственно.

Шестнадцать

Число 16 — следующее с левой стороны лямбды — основа шестнадцатеричной системы, которая используется в компьютерах (сейчас оно дважды удвоено до 64, образуя основу более скоростных расчетов). Число 16 также лежит в основе второй по популярности системы предсказаний в Европе в эпоху Возрождения и позже. Конечно же, речь идет о геомантии, о 16 геомантических фигурах — от виа до летиат, которые в Европе уступали только астрологии. Затем она исчезла и вернулась в конце XIX века усилиями герметического ордена Золотой Зари.

Вкратце, геомаития — это система гадания по точкам или отметинам в песке, составляющим 16 бинарных фигур. Она абсолютно не связана с китайской традицией фэн-шуй. Несмотря на эго, в 1870 году преподобный Иегс, английский миссионер, в поисках эквивалентного перевода китайских иероглифов фэн-шуй воспользовался словом «геомантия», потому что в словаре смутно говорилось о «земле» и «гадании». Он даже не задумался над тем, что этот термин используется для совершенно иной и давно существующей европейской методики. В результате геомантия стала восприниматься как синоним слова фэн-шуй.

Многие исследователи леев и геометрии Железного века (см. с. 102—105) гоже начали проводить параллели с фэн- шуй и, к сожалению, стали называть свою работу геомантией.

Восемьдесят один

С правой стороны лямбды следующим числом будет 81 (З⁴ или 9 х 9). Это число не особо любимо в нумерологии, но имеет большое значение при рассмотрении строения Вселенной.

0 его важности свидетельствует ІАО, гностическое имя Бога, сумма букв которого составляет 81. Это значение получено по системе греческой изопсефии (каббалистическое название — гематрия), которая задолго до Пифагора использовалась для соотнесения чисел и букв:

1 (10) + А (1) + О (омикрон) (70) = 81

I (10) + А (1) + О (омега) (800) = 811

Современная лямбда Современный пифагореец Петер Плих- та заново открыл некоторые тайны лямбды и использовал их в современной химии. Доктор Плихта — эрудит с ученой степенью по химии и физике, но при этом он обладает мышлением пифагорейца и считает, что числа — реальные и независимо существующие части структуры физической Вселенной.

Плихта интересуется простыми числами. Почему, например, при счете подряд от 1 они встречаются случайно, а не в каком-то определенном порядке? И чем дальше, тем их становится меньше? Он вспомнил закон простых чисел Адамара (1896), в котором говорится, что уменьшение частоты появления простых чисел в последовательности от единицы до бесконечности связано с числом Эйлера — основанием натурального логарифма (е - 2,718...). Он понял, что это число также управляет рядом законов природы, например, радиоактивным распадом и скоростью убегания, и задался вопросом, не могут ли прост ые числа таким же образом управлять природой.

Адамар первым задумался о периодической системе химических элементов, завораживающей всех, кто интересуется устройством Вселенной. Стабильные элементы включают элементы с атомным числом 1, 2, 3... 83. После 83 (висмут) такие элементы, как 90 (торий) или 92 (ураний), нестабильны. Некоторые вообще существуют только в лабораторных условиях и позднее распадаются на другие элементы, конкретно — 91, 89, 88, 87, 86, 85 и 84.

По какой-то странной причине элементы с атомными числами 43 и 61 (технеций и прометий) не существуют в естественном виде нигде в Солнечной системе. Поэтому на самом деле стабильных элементов всего 81 (число ІАО и ключевое число лямбды). Еще один странный пифагорейский факт: у элементов может быть до 10 разных форм (изотопов), но никогда больше. Как и говорили пифагорейцы, 10 — число завершенности.

(Сыграйте ноту, потянув струну гитары; потом вдвое сократите длину струны, зажав ее на грифе пальцем, и потяните снова. Вы услышите более высокую ноту удвоенной частоты. На самом деле, это та же самая первая нота, но на октаву выше («октавой» называются восемь нот мажорной гаммы, см. справа). Зажимание (или укорачивание) струны на разных ладах грифа дает разные ноты, которые составляют с первоначальной нотой другие отношения, или дробные интервалы.

Каждый интерват имеет собственное название. Те, которые выделены в таблице, образуют мажорную диатоническую гамму (до-ре-ми, известную большинству из нас), в данном случае — до-мажор. Соотношения остаются постоянными для любой ноты.

Свойства гамм

Существует множество гамм с разными музыкальными свойствами. Минорная гамма, в которой используется малая, а не большая терция, часто считается грустной.

Изменение (модуляция) мажорного аккорда в его минорный эквивалент передает особенно «печальное» настроение. Обратный переход — из минора в мажор — называется пикардийской терцией, которая считается веселой и оптимистичной.

Музыканты используют свойсгва гамм, чтобы продемонстрировать эмоциональные возможности, которыми обладает лежащая в основе всего арифметика Пифагора. Для Пифагора музыкальная гармония была еще одним доказательством того, что целые числа и правильные дроби священны, в отличие от неправильных. Пента- тонические гаммы (из пяти ступеней) — в мажоре имеющие те же соотношения, что и черные клавиши пианино, — встречаются в народной музыке по всему миру и знакомы нам всем.

Дополнительная нота между четвертой и пятой нотами минорной пентатонической гаммы (часто используется в блюзе, джазе и роке) тоже обладает ярко выраженным характером. У неевропейских народов гаммы построены иначе: например, у китайцев используются пентатониче- ские, а у индийцев — 22 ноты, как и одна из персидских гамм. Но принцип целых интервалов остается везде.

Красота гармонии

А теперь — решающий довод. Если вы проведете скрипичным смычком по гибкой металлической пластине, посыпанной тонким порошком (лучше всего порошком ликоподия), крупинки вы строятся в определенном порядке Таким образом, священные чис ла не только управляют планетарными орбитами и музыкальной гармонией, они способны создавать прекрасные геометрические формы.

То же самое верно для архитектуры. Парфенон, например, обладает красотой, кото рую мы воспринимаем инстинктивно, но его архитектура основана на священной арифметике и геометрии.

ЧИСТАЯ АРИФМЕТИКА

Значение дробей

В прошлом люди считали дюжинами или шестью десятками и делили числа в уме на 2, 3, 4 или другие, кратные шестидесяти. С 12 и 60 было просто работать, потому что они без остатка делятся на много других чисел. У10 возможностей меньше. В принципе, все сводится к расчету деталей целого и соотношения его частей.

10делится только на 2 и 5, поэтому это не очень гибкое число. 12 же делится на 2, 3, 4 и 6. 60 - еще лучше, потому что делится на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30. Идея ясна. Поэтому вместо бесконечных десятичных дробей вы можете нормально делить целое, используя небольшой набор дробей - ¹ /бо» ²/б0, ³/60 И т. п.

Сто лет назад было естественно думать о семи яйцах в коробке на 12 штук как о ⁷/12 коробки. Современные математики требуют десятичного ответа 0,5833333. Ни одна древняя цивилизация и не подумала бы использовать 0,5833333 - для такой простой вещи использовались простые дроби. Многие дроби можно аккуратно выразить делением одного целого числа на другое, например ~/\2 или ²/з (а не

0, 6666666). Эта система также позволяет выражать дроби как отношения. Т. е. /12 — то же самое, что 7:12, а ²/з — 2:3. Такие дроби проще запомнить, с ними легче обращаться, и они часто дают более точные значения.

Выбор делителя

Выбор делителя (знаменателя, нижней части дроби) имеет большое значение, поэтому давайте рассмотрим, какими знаменателями пользовались конкретные архитекторы, строители или народы. После этого мы сможем перевести все современные точные меры в метрах, ярдах, футах и дюймах в систему, которую использовали сами создатели. Когда мы получим эти целые числа, картина станет понятней, и мы сможем исследовать символику, значение и использование зданий.

Давайте рассмотрим простой вымышленный пример. Допустим, есть здание, которое в длину составляет 666 единиц (сейчас неважно, какие это единицы), а не 552,1563 м. Следовательно, можно предположить, что это здание

Девятые

Одна из последовательностей бесконечных десятичных дробей проше передается через девятые, которые были особенно важны в греческих измерениях (переводной коэффиииент стандартного греческого фута к древнему - ’%):

Последовательность продолжается и после 1:

имеет какое-то отношение к Солнцу (666 - символическое число Солнца) или связано со зверем из Откровения Иоанна Богослова.

Если же рассматривать 552,1563 м, такой вывод невозможен. Я использовал здесь символическое число, которое узнает большинство читателей, чтобы более наглядно пояснить свою мысль. В книге я буду приводить, где это возможно, не только современные меры, но и древние единицы измерения. Логика этих измерений гораздо больше скажет нам о священной геометрии зданий.

Осознав закономерности перевода древних мер в современные, мы вскоре заметим, что разные народы, страны и цивилизации использовали в древности некоторые одинаковые единицы измерения. Также станет очевидно, что существует взаимосвязь между измерениями вроде бы разноплановых вещей — длины, веса, объема и даже времени.

Новые единицы измерения зачастую связаны с какими-то природными явлениями. Самые очевидные стандарты — человеческое тело (локоть, ладонь, палец), астрономия (день, год) или Земля (градус долготы). Нельзя с уверенностью сказать, на основе чего возникали древние единицы измерения длины, веса или времени, но известно, что эти стандарты считались священными.

Когда в начале XIX века во Франции было решено создать метр как эталон длины, за основу была взята '/40 ооо ооо окружности Земли. Как ее измерили? При помощи метода, который был не сложнее метода Эратосфена (ок. 275—194 до н. э.), греческого геометра, жившего в Египте более 2000 лет назад.

Угол тени

Эратосфен предположил, что, поскольку Земля имеет форму шара, он может при помощи Солнца и параллельных прямых измерить длину ее окружности. Он заметил, что в городе Сиене (современный Асуан в Египте) полуденное Солнце в день летнего солнцестояния (в Северном полушарии — около 21 июня) находится прямо над головой и вертикальный шест не отбрасывает тени.

Тогда Эратосфен в полдень в этот же день измерил длину тени от шеста в Александрии, самом северном городе Египта (здесь Эратосфен был хранителем великой билиотеки), и определил угол отклонения солнца от зенита: 7 градусов

12 минут.

Лучи солнца в Сиене и Александрии были параллельны, поэтому при помощи простой Евклидовой геометрии (как показано на рисунке) Эратосфен заключил, что угол

между этими городами у центра Земли тоже будет составлять 7° 12’.

Расстояние от Александрии до Сиены составляет 5000 стадий, поэтому Эратосфен рассчитал, что:

Если 7° 12’ (т. е. 7,2°)

= 5000 стадий, тогда 360° (окружность Земли)

= 5000 х 360 / 7,2 = 250 000 стадий

250 000 стадий — это 39 186 км — невероятно точное измерение для человека, который располагал двумя шестами и мерным кругом в двух городах Древнего Египта. Современные приблизительные