Исследование функции на вогнутость, выпуклость.

Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами . График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке  вторая производная  положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если  на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка  может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо  не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке  не означает еще, что в точке  будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если  равна нулю или не существует и  при переводе через точку меняет знак, то  ‑ точка перегиба графика функции .

II правило. Если  и , то  является точкой перегиба графика функции .

Линейные операции над векторами. Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма: векторы  и  сносятся в общую точку  (рис. 4.1), на них строят параллелограмм  и его диагональ  называют суммой векторов  и .

Рис. 4.1.

Поскольку вектор  равен , то можно дать другое правило нахождения суммы  (правило треугольника): суммой векторов  и  является вектор, идущий из начала  в конец , если вектор  приложен к концу вектора , т.е.:

(4.1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы  образуют ломаную , то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4.2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. , то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения ‑ сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов  и , отложенных от одной точки  является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора  в конец уменьшаемого вектора , т.е.  (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. , то .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор  равен , где  ‑ некоторое число, если:

1.  коллинеарен ;

2. длина вектора  отличается от длины вектора  в  раз, т.е. ;

3. при ,  и  направлены в одну сторону, при  ‑ в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Определение скалярного произведения векторов.

Скалярными произведением  двух векторов  и  называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними: .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если  и  ‑ ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между  и  - острый, если , то угол - тупой;

5. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины, т.е. .

Следовательно, .