Производная высших порядков.

Предел функции по Гейне (на языке последовательности)

А называется пределом функции y=f(x) 

при x→x_о , если для любой последовательности допустимых аргументов сходящихся к х_о

(  = x_o ), соответственно последовательность функций сходится к числу А 

=A, запис. =A

Предел функции по Каши

 (на языке ε- окрестности)А называется пределом функции y=f(x) при x→x_о если для любого ε > 0 (сколь угодно малого) найдётся

     такое, что: как только будет выполняться неравенство 0 < (x - x_о) <

так будет выполняться неравенство

                  (f(x)-A) <

4.Теорема о существовании конечного предела:

5.1-ый замечательный предел:

6.2-ой замечательный предел:

7.Непрерывность функции в точке:

Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х₀, если:

1. Она определена в этой точке (.) х₀

2.  Существует

3.

y = x² – непрыв. в (.) x₀

1.

2.

3.

В (.) x₀ = 2 f(x) непрерыв.

Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х₀, если:

1. б. м преращение аргумент ∆x соответствует  б.м преращение ф-ии

2.  она определенна в (.) х₀ ;

Ф-ция y = f(x) называется непрерывной в (.) х₀, если:

1. она определенна в (.) х₀ ;

8.Точки разрыва функции

Различают 2 вида разрыва ф-ции:

Го рода

Го рода

Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то х₀ – (.) разрыва

Если

(А и В – конечные числа, при чём А , то в (.) х₀ разрыв 1-го рода, в (.) х₀ – скачок =

Если А = В, то в (.) х₀ – устранимый разрыв 1-го рода

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен то в (.) х₀ разрыв 2-го рода.

9.Производная – предел отношение преращения ф-ции к преращению аргумента при условии, что последнее стремится к 0.

Производная сложной функции

Пусть  и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в точке , то сложная функция по правилу цепочки:

.

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде: .

11. Производная функции, заданная параметрически.Теорема: Пусть функция задана параметрически , где функции x(t) и y(t) дифференцируемы. Тогда y’x= .

Производная высших порядков.

Если функция f(x) , определенная в A , имеет производную во всех точках A , то эту производную можно рассматривать как новую функцию g(x)=f’(x) ,x принадлежит А .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если g(x), определенная в A , имеет конечную производную g’(x) в точке x прин. A , то значение этой производной является второй производной функции f(x) .

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

13.Исследование функции на монотонность. Точки экстремума. Функция  называется возрастающей на промежутке , если  для любых точек  и  из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия  следует .

Теорема. Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы  была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы  в каждой внутренней точке интервала .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке  тогда и только тогда, когда

Локальный экстремум

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку  такой что .

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку  такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании  при переходе через стационарную точку  производная  меняет знак с + на ‑ , то
 ‑ точка локального максимума. Если  меняет знак с ‑ на + , то  ‑ точка локального минимума функции . Если  не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная  в стационарной точке  положительная, то  ‑ точка локального минимума функции . Если вторая производная  в стационарной точке  отрицательная, то  ‑ точка локального максимума функции .

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Глобальный экстремум.Непрерывная на отрезке  функция  принимает свое наибольшее значение  и свое наименьшее значение  в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений  и  поступают следующим образом.

· Находят стационарные точки  функции;

· Находят точки , в которых производная  не существует или обращается в бесконечность;

· Вычисляют значения:

 ‑ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут  и  ‑ глобальные экстремальные значения.