Тема 7. Невизначений інтеграл

Література: [4], с.218-226, с. 347-360, [5], с.235-260, [6], т.1, с.335-370.

1. Первісна та невизначений інтеграл.

2. Властивості невизначеного інтеграла.

3. Таблиця основних інтегралів.

4. Основні методи інтегрування: метод безпосереднього інтегрування, метод заміни змінної (підстановки), частинами.

Приклад 1. Знайти інтеграл методом безпосереднього інтегрування

.

Приклади 2. Знайти інтеграли методом підстановки (заміни змінної)

1) ;                             2) .

Приклади 3. Знайти інтеграли методом інтегрування частинами:

1) ;                 2) .

5. Многочлен -го степеня. Раціональна функція. Розкладання раціональних функцій на елементарні. Інтегрування елементарних раціональних функцій. Алгоритм інтегрування раціональних функцій.

Приклади. Знайти інтеграли

Приклади. Знайти інтеграли

1) ;              2) ;              3) .

7. Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Вказати підстановку для інтегрування ірраціональностей виду , де a та b – дробові раціональні числа.

Приклад. Знайти інтеграл             .

Тема 8. Визначений інтеграл

Література: [4], с.218-226, с. 347-360, [5], с.263-275, с.277-285,[6], т.1, с.380-411.

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла. Умови існування.

3. Властивості визначеного інтеграла.

4. Інтеграл із змінною верхнею межею.

Приклад. Знайти похідну за змінною х інтеграла .

5. Формула Ньютона–Лейбница.

Приклад. Обчислити .

6. Методи обчислення визначених інтегралів: заміною змінної, частинами.

Приклад 1. Обчислити методом заміни змінної .

Приклад 2. Обчислити методом інтегрування частинами:

1) ,                                     2) .

7. Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач геометрії та фізики.

Вказати формули застосувань

а) до геометричних задач (знаходження площ криволінійної трапеції, плоскої області, довжини дуги, об’єм тіла обертання та його площі поверхні);

б) обчислення середніх значень функції;

в) до фізичних задач (шлях S, який пройде тіло із швидкістю v(t) за час T, сумарний електричний заряд Q, зосереджений з густиною q(x) на [a, b], обчислення діючих значень напруги і струму електричних коливань за період Т).

8. Невластиві інтеграли з нескінченними межами інтегрування. Невластиві інтеграли від необмежених функцій.

Приклад. Обчислити або встановити розбіжність інтегралів:

1) ;                                                    2) .

Розділ 5

Звичайні диференціальні рівняння

Тема 9. Диференціальні рівняння першого порядку

Література:[4], с.421-438, [5], с.294-321, [6], т.2, с.15-38, 63-70, 72-95.

1. Загальні поняття, приклади і задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

2. Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку диференціального рівняння першого порядку.

3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

4.Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

5.Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Приклад. Знайти розв’язок задачі Коші:

; .

6. Розв’язати задачу.

Швидкість втрати електричного заряду ізольованого провідника внаслідок недосконалості ізоляції пропорційна заряду, що є в даний момент. В початковий момент провідник мав заряд (250+N) CGSE і за перші дві хвилини втратив 100 CGSE. Визначити, через скільки хвилин заряд провідника буде дорівнювати половині початкового.