Тема 3. Похідна функції однієї змінної

Література:[1], с. 200-209, с.215-229, [4], с. 191-216; [6], с. 68-115, с.153-187.

1. Означення похідної. Геометричний, механічний та фізичний зміст похідної. Диференційованість і неперервність.

2. Правила диференціювання. Похідні елементарних функцій.

3. Похідна складеної функції.

Приклади. Обчислити похідні :

1) ;            5) ;

2) ;                    6) ;

3) ;                   7) .

4) ;

4. Похідна неявної функції та функції, що задана параметрично. Логарифмічне диференціювання.

Приклади. Обчислити похідні  функцій:

1) ; 2)

3)         4);

5) .

5. Означення диференціала. Геометричний та механічний зміст диференціала. Властивості диференціала, застосування до наближених обчислень.

Приклади. Обчислити наближено:

1) ;                              3) ;  

2) ;                             4) , при .

6. Похідні вищих порядків. Похідні вищих порядків неявно та параметрично заданої функції. Диференціали вищих порядків.

Приклад 1. Обчислити  та :

1) ;        2) ;      3)

Приклад 2. Обчислити  та  функцій:

1) ;      2) ;               3) .

Приклад 3. Точка рухається прямолінійно за законом . Визначити швидкість та прискорення в кінці першої хвилини (  розраховується в метрах, час  – в хвилинах).

7. Основні теореми диференціального числення. Теореми Ферма, Ролля, Коші, Лагранжа. Формули Тейлора, Маклорена. Правило Лопіталя.

Тема 4. Застосування диференціального числення

До дослідження функцій

Література:[1], с.200-209, с.215-229, [4], с.226-266, [6], с.68-115, с.153-187.

1.Дослідження функції на монотонність. Екстремуми функцій.

Приклад. Визначити інтервали монотонності та екстремуми функцій.

1) ;                 2) .

2. Найбільше і найменше значення функції.

Приклад. Визначити найбільше та найменше значення функції  на відрізку .

3. Напрям опуклості та точки перегину графіка функції. Асимптоти графіка функції.

Приклад 1. Визначити інтервали опуклості та точки перегину графіка функції:

1) ;

2) .

Приклад 2. Визначити асимптоти графіка функції:

1) ;               2) .

4. Схема дослідження функції і побудова її графіка.

Приклад. Дослідити методами диференціального числення функції 1) з прикладу 1 п. 3 і 2) з прикладу 2 п. 3.

Розділ 3

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Тема 5. Функція багатьох змінних, її границя,

Неперервність та диференційованість

Література:[1], с. 239-249, с. 253-257, [4], с.284-307, [6], с. 243-258, с. 280-293.

1. Поняття функції багатьох змінних. Область визначення.

Приклад. Визначити область визначення функцій:

1) ;                   2) ;

3) .

2. Границя та неперервність функції багатьох змінних.

3. Частинні похідні функції багатьох змінних. Диференційованість.

Приклад. Обчислити ,  функцій:

1) ;                         2) ;

3) ;              4) .

4. Повний диференціал та його застосування.

Приклад. Обчислити наближено:

1) ;

2) ;

3) .

5. Диференціювання складеної функції. Повна похідна. Диференціювання неявно заданої функції.

6. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Приклад. Обчислити  і  функцій:

1) ;      3) ;

2) ;                                       4) .

Тема 6. Деякі застосування частинних похідних

Література:[1], с. 239-249, с. 253-257, [4], с.309-327, [6], с. 243-258, с. 280-293.

1. Екстремуми функції двох змінних.

Приклади. Визначити екстремуми функцій:

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: ;

: .

2. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області.

3. Умовний екстремум.

Розділ 4

Інтегральне числення функцій однієї змінної