Расчет балок в упругой стадии работы стали

Расчет изгибаемых элементов в общем случае ве­дется как по первой группе предельных состояний (вяз­кое или усталостное разрушение, потеря устойчивости, текучесть материала), так и по второй (достижение предельных перемещений). Для балки это, как правило, прогиб в середине пролета или на конце консоли, отне­сенные соответственно к длине пролета балки или кон­соли.

В упругой области работы материала предельное состояние изгибаемого элемента определяется достиже­нием максимальными нормальными или касательными напряжениями предельных значений хотя бы в одной точке (или волокне) сечения. За предельные значения при этом принимают для нормальных напряжений ос­новное расчетное сопротивление растяжению, сжатию или изгибу R_y, а для касательных напряжений – расчет-ное сопротивление срезу R_s, которые используют в рас­чете с поправкой на условия работы.

‑ Упругие деформации СХЕМА, ЭПЮРЫ

1 Расчет прочности по σ

σ_max / R_y <= 1

M_max / (W_xn R_y γ_с) <= 1 (1 класс, 1б ГПС)

2 Расчет прочности по τ

τ_max / R_s <= 1

Q_max S_x / (I_x t_w R_s γ_с) <= 1 (1 класс, 1б ГПС)

3 Расчет прочности по приведенным напряжениям

σ_пр / (R_y γ_c) <= 1

σ_пр = sqrt(σ_x² + σ_y² + σ_x σ_y + 3 τ²_xy)

σ_y = σ_loc;

σ_y,loc^a = F / (l_ef t_w);

l_ef = b + 2 (t_f + k_f (или R))

σ_x^a = M_i d / I_x;

τ_xy,a = Q_i S_xa / (I_x t_w) – формула Журавского.

Все три условия должны быть выполнены.

При изгибе в двух главных плоскостях проверку упруго работающего сечения проводят по формуле 38 СНиП.

Иногда совместное действие нормальных и каса­тельных напряжений может оказать существенное влия­ние на предельное состояние элемента. Для учета сов­местного их действия используют условие перехода ма­териала в упругопластическую стадию. Считается, что пластичность проявляется при достижении предела теку­чести приведенными напряжениями:

Когда касательные напряжения малы, текучесть на­чинается с крайних фибр сечения. При относительно вы­соких значениях касательных напряжений, текучесть у нейтральной оси может наступить раньше чем на краях сечения, что приведет к более раннему исчерпанию не­сущей способности изгибаемого элемента.

25 Расчет балок в упругопластической стадии рабо­ты стали

Шарнир пластичности – это не обычный шарнир: работа его возможна только в направлении предельного момента; при действии изгибающего момента обратного знака напряжения уменьшаются, материал вновь ведет себя как упругий и шарнир пластичности замыкается.

Предельное значение изгибающего момента в шар­нире пластичности: M_lim = s_y 2 S_п, где S_п - статический момент полусечения относительно нейтральной оси.

Значение пластического момента сопротивления больше, чем упругого. Так, для прямоугольного сечения

2 S_п = b h² / 4

Для двутавра и швеллера включение тонкой стенки в работу не может дать значительного эффекта при из­гибе в плоскости, параллельной полкам, поэтому их се­чения можно рассматривать как прямоугольные.

Одновременное воздействие нормальных и каса­тельных напряжений ускоряет развитие пластических деформаций. После достижения в точке условия плас­тичности допускается дополнительно некоторое разви­тие пластических деформаций в близлежащей зоне. Про­верка проводится при этом по формуле:

‑ Допущение пласт. деформаций

c_x,y – коэффициент для расчета с условием развития пластических деформаций. Относительно осей.

1 Расчет прочности по σ

σ_max / R_y <= 1

M_max / (c_x W_xn R_y γ_с) <= 1 (2 класс, 1б ГПС)

2 Расчет прочности по τ

τ_max / R_s <= 1

Q_max S_x / (I_x t_w R_s γ_с) <= 1 (2 класс, 1б ГПС)

3 Расчет прочности по приведенным напряжениям с допущением пластических деформаций

0,87 σ_пр,max / (R_y γ_c) <= 1

σ_пр = sqrt(σ_x² + σ_y² + σ_x σ_y + 3 τ²_xy)

σ_y = σ_loc;

σ_y,loc^a = F / (l_ef t_w);

l_ef = b + 2 (t_f + k_f (или R))

σ_x^a = M_i d / I_x;

τ_xy,a = Q_i S_xa / (I_x t_w) – формула Журавского.

Поведение изгибаемого элемента при развитии пластических деформаций резко меняется, общие дефор­мации быстро растут (в отличие от упругой стадии, где рост прогибов был пропорционален росту нагрузки), а после образования шарнира пластичности они могут на­растать стремительно, приобретая опасный характер. Поэтому для разрезных балок образование шарнира пластичности считают переходом в предельное состоя­ние по непригодности к эксплуатации (1 б).

В неразрезных балках появление шарнира, плас­тичности в одном из сечений ведет к изменению рас­четной схемы и последующему перераспределению из­гибающих моментов, резервы несущей способности при появлении первого шарнира пластичности в этом случае еще не исчерпаны.

26 Проверка и обеспечение общей устойчивости ба­лок

Предельное состояние изгибаемого элемента может наступить до исчерпания прочности – при потере устой­чивости плоской формы изгиба (общей потере устой­чивости). Это явление аналогично продольному изгибу ценгрально-сжатых стержней. Вначале балка изгибается в своей плоскости, совпадающей с плоскостью главной оси инерции сечений и плоскостью действия внешней нагрузки. Но с достижением балкой критических напря­жений она закручивается и выходит из плоскости из­гиба. В поясах балки затем появляются пластические дефор­мации и при нагрузке, несколько превышающей крити­ческую, балка теряет несущую способность.

Практически расчет сводится к введению коэффи­циента устойчивости при изгибе j_b = s_cr / s_y, где s_cr – кри­тическое напряжение изгибаемого элемента.

F <= F_cr; σ <= σ_cr = φ_b σ_y;

σ / (φ_b σ_y) <= 1;

M / (W_x,compr φ_b R_y γ_c) <= 1 (1а ГПС)

φ_b – по прил. Ж СП 16.13330.2011. Если значение больше 1, значит балка устойчива.

φ_b = f (ψ, I_y / I_x, (h / l_ef)², E / R_y);

λ_f = (l_ef / b_f) sqrt(R_yf / E) <= λ_uf – условная гибкость верхнего пояса из плоскости балки. Таблица 11 СП 16.13330.2011.

l_ef – расчетная длина – макс. расстояние между точ­ками закрепления верхнего сжатого пояса из плоскости балки.

В практике проектирования часто предусматри­вают связь балок с опирающимся на них по всему про­лету, достаточно жестким в своей плоскости настилом, что обеспечивает надежное закрепление балок. Необхо­димость проверки расчетом общей устойчивости балок в этом случае отпадает. Проверка устойчивости не тре­буется и в тех случаях, когда последняя заведомо обеспе­чена частой расстановкой связей, препятствующих пово­роту сечений балки и горизонтальному смещению сжа­того пояса. Например, при соблюдении условий по соот­ношению размеров сечения 1 <= h / b < 6 и 15 <= b / t_f <= 35 для балки с нагрузкой по верхнему поясу относительно расставленныее между закрепления­ми д.б. не более:

Балка, загруженная сосредоточенной силой в сере­дине пролета более устойчива, так как максимальный момент наименее протяжен.

Приложение нагрузки снизу более выгодно, так как возникает возвращающий момент, вместо опрокидываю­щего.

Порядок проверки общей устойчивости балки:

1 Общая устойчивочть балки обеспечена, если верхний сжатый пояс надежно закреплен по всей длине горизонтальной поверхности жестким диском настила.

2 Проверка условной гибкости λ_f <= λ_uf.

3 Проверка M / (W_x φ_b R_y γ_c) <= 1.