Керування дискретними лінійними системами

Література:[3, c.108-112].

Мета роботи: Застосувати теоретичні критерії дослідження керовності дискретних лінійних систем до розробки алгоритмів розрахунку управління для переведення їх у наперед заданий стан.

Зміст роботи: Дослідити, чи є цілком керовною задана дискретна лінійна система керування. Розрахувати управління для її переведення у наперед заданий стан, використовуючи програмні засоби одного з пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

Методичні вказівки

       Розглянемо дискретну лінійну систему керування вигляду

,          (4.1)

де  — -вимірний вектор стану системи в точці ,  — вектор керування в точці ,  і  - деякі матриці, елементи яких залежать від дискретного аргументу  у випадку нестаціонарної системи і не залежать від  у випадку стаціонарної системи.

Теорема. Для того, щоб лінійна дискретна система (4.1) була цілком керовною на проміжку від  до , необхідно і досить, щоб виконувалась умова:

(4.2)

.

При цьому керування, яке переводить систему із стану  в стан  знаходиться як розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

            (4.3)

.

У випадку стаціонарних дискретних систем керування умова керовності набуде вигляду

                     (4.4)

Якщо матриця  у стаціонарній системі складається з одного стовпця, то умова (4.3) зводиться до нерівності

.

При цьому система (4.3) запишеться так:

.

Завдання для самостійної роботи

Для заданих матриць  і  дискретної стаціонарної лінійної системи керування обчислити керування, яке за п’ять кроків переводить систему із стану з усіма нульовими компонентами у стан з усіма одиничними компонентами. Для проведення відповідних розрахунків можна використати один із пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

Варіанти матриць  і  ті ж самі, що й у попередній роботі.

Лабораторна робота №5

Оптимальне керування. Принцип максимуму Понтрягіна

Література:[5, с. 421-489], [6, с. 13-85].

Мета роботи: Навчитися застосовувати принцип максимуму Понтрягіна до знаходження оптимального керування динамічними системами.

Зміст роботи: Розв’язати запропоновану задачу пошуку оптимального керування, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна. Скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування однією з алгоритмічних мов.

Методичні вказівки

Основна задача. Нехай задана динамічна система

                (5.1)

 . . . . .  . . . . . . . . . . . .

або у векторній формі ,  з початковою умовою  і областю допустимих керувань . Тут  – -вимірний вектор, який називають фазовим, а його компоненти – фазовими координатами об’єкта, функції  мають частинні похідні  (  і неперервні разом з цими похідними за сукупністю своїх аргументів. Шукається таке допустиме керування і відповідна траекторія системи (5.1), щоб для фіксованого скінченного моменту часу  вираз

,                (5.2)

де  - задані сталі, був мінімальним.

Нехай  – вектор-функція з компонентами , яка є розв’язком задачі

, , ,     (5.3)

або у векторній формі , , де

, , .

Система (5.3) називається приєднаною до системи (5.1).

Функція Гамільтона задач (5.1),(5.2) має вигляд

.

Тоді динамічна і приєднана системи можуть бути записані через канонічні рівняння

,          , .

Теорема. Нехай  – розв’язок задачі (5.1),(5.3). Тоді існує функція , яка є розв’язком приєднаної системи (5.3) з відповідною граничною умовою і така, що майже для всіх  виконується умова

.

       Якщо необхідно мінімізувати двічі диференційовну за всіма аргументами функцію , то в принципі максимуму Понтрягіна початкові умови для приєднаної системи треба замінити на .

       Якщо ставиться задача мінімізації функціоналу , де функція  задовольняє ті ж умови, що й , то функція Гамільтона визначається формулою , а приєднана система має вигляд

, , .   (5.4)

Приклад 5.1. , , , , , .

Розв’язання. , , , , , тобто . Звідси . Максимум  досягається при .

Умови трансверсальності.Часто у задачі (5.1),(5.2) накладаються умови вигляду , , причому вважається, що функції  двічі диференційовні по всіх  і якобіан  має максимальний ранг . Тоді умови ,  задають у просторі станів деякий гладкий многовид.

       Вимагається знайти таке оптимальне керування, яке переводить точку  у довільну точку цього многовиду. В цьому випадку кінцеві умови для  в принципі максимуму Понтрягіна потрібно замінити умовами трансверсальності

, .

Приклад 5.2.   , , , , .

Розв’язання. Маємо , , , , , , , , тобто  і . Звідси, максимум функції Гамільтона дає оптимальне керування . Невідомі параметри  і  потрібно вибрати так, щоб система переводилась у кінцеву точку . Інтегруючи рівняння стану, одержуємо

,

З умов  легко записати лінійні рівняння для знаходження  і : , , так що оптимальне керування має вигляд .

Аналогічно одержують умови трасверсальності для початкової точки у випадку, коли  не задано, а лише вимагається, щоб ця точка задовольняла систему , . Тоді для приєднаної вектор-функції має виконуватись умова  , .

Завдання для самостійної роботи

       Розв’язати наведені нижче задачі. Розробити алгоритми і скласти програму для графічного відображення поведінки системи під дією розрахованого керування.

1. , , , , .

2. , , , .

3. , , , .

4. , . , , , , , .

5. , , , , .

6. , , , , , .

7. , , , , , .

8. , , , ,.

9. , , , .

10. , , , ,

, .

11. , , , , , , .

12. , , , , .

13. , , , , .

14. , , , , .

15. , , , , .

16. , , , , .

17. , , , , , , .

18. , , , , , .

19. , , , , , , .

20. , , , , , .

21. , , , , .

22. , , , , .

23. , , , , .

24. , , , .

25. , , , , .

26. , , , , .

27. , , ,

28. , , , , , .

Література

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. – М.: Высшая Школа, 1989. – 263 с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

3.Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. - К.: Вища школа, 1975. - 328 с.

4.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 576 с.

5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1998. – 552 с.

6.Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1983. – 392 с.