Дослідження керовності механічних коливних систем

Література:[3, с. 82-95]

Мета роботи: Вивчити теоретичні критерії дослідження керовності лінійних систем керування і навчитись застосовувати їх для аналізу механічних коливних систем.

Зміст роботи:Побудувати математичну модель механічної коливної системи як системи керування і дослідити її керовність, використовуючи пакети Maple, Mathcad чи Matlab.

Методичні вказівки

Приклад 2.1. Розглянемо вимушені коливання під дією зовнішньої сили  матеріальної точки, прикріп-леної до горизонтальної і верти-кальної пружин. Запровадимо прямокутну сис-тему координат, початок якої розта-шуємо в положенні рівноваги матеріальної точки, а осі напрямимо вздовж пружин (див. Рис. 1).

Рис. 1

Використаємо такі позначення:

 - маса матеріальної точки;

 - жорсткість пружини, розташованої вздовж осі ОХ;

 - жорсткість пружини, розташованої вздовж осі ОУ;

 - кут між напрямком дії сили  та віссю ОХ;

 - координати відхилення матеріальної точки від положення рівноваги в момент часу .

Запишемо для матеріальної точки другий закон Ньютона:

                    (2.1)

Якщо запровадити додаткові змінні  то

система (2.1) набуде вигляду

,                   

або у матричній формі

                           (2.2)

де , , , .

Як відомо [3], для того щоб система (2.2) зі сталими матрицями  і  була цілком керовною, необхідно і досить, щоб виконувалась умова:

             (2.3)

де -розмір вектора . Для одновимірного вектора керування  умова (2.3) еквівалентна

.                      (2.4)

Дослідимо керовність системи, наведеної у прикладі (2.1). Для неї

і , отже система (2.1) буде цілком керовною, якщо ,  та .

Завдання для самостійної роботи

Задається механічна коливна система та набір прикладених до неї сил . Визначити, при якій найменшій сукупності сил  система керування є цілком керовною.

Для формування матриці  із умови (2.3) і знаходження її рангу можна скористатись стандартними пакетами Maple, Matcad чи Matlab.

1.     2.  

3.           4.

5.            6.

7.        8.

9.   10.

11. 12.

13. 14.

15.        16.

17.        18.

19.         20.

21.     22.

23.    24.

25.        26.

27.       28.

Лабораторна робота №3

Модальні регулятори та їх реалізація

Література:[3, c.123-131], [4].

Мета роботи: Застосувати теорію з проблем модального керування об’єктами до розробки алгоритму побудови модального регулятора для заданої лінійної системи керування. Скласти і налагодити програму комп’ютерної реалізації алгоритму

Зміст роботи:Реалізувати обчислення матриці оберненого зв’язку для побудови модального регулятора, наприклад, за допомогою одного з пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

Методичні вказівки

Розглянемо лінійну стаціонарну систему керування

  ,                (3.1)

де  – вектор розміру ,  – квадратна матриця порядку ,  – вектор розміру ,  – матриця розміру . Важливою характеристикою для дослідження стійкості тривіального розв’язку, а також частот резонансу системи (1) є спектр матриці . Для його знаходження необхідно розв’язати характеристичне рівняння

.

Коефіцієнти  характеристичного многочлена можна обчислити методом Левер’є за такою схемою:

,     ,      ,

,  ,     ,

. . . .                . . . .               . . . . .    

, , ,

       , ,     ,

де  – слід матриці , - одинична матриця порядку .

           Часто спектр матриці  не задовольняє умови стійкості тривіального розв’язку ситеми (1) або умови резонансу на певних частотах. У цьому випадку можна ставити задачу побудови такого зворотного зв’язку , де  – матриця розміру , щоб матриця  одержаної замкненої системи мала який завгодно, наперед заданий спектр .

Тоді однозначно відновлюються коефіцієнти характеристичного рівняння

,

наприклад за рекурентними співвідношеннями

; , , .

Відповідь про існування шуканої матриці  сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема. Якщо система (1) є цілком керовною, тобто якщо 

, то матрицю  можна підібрати для будь-якого набору власних значень .

Розглянемо два випадки:

1.  (сигнал управління  є одновимірним). Тоді  є матрицею розміру , ,  – вектор розміру , який обчислюється за формулою , де  – матриця розміру  і має вигляд

,

 – вектор коефіцієнтів характеристичного многочлена матриці .

2.  (сигнал управління  є багатовимірним). Без обмеження загальності розглянемо систему (3.1) з : ,  – вектор-стовпці розміру . Якщо для деякого  виконується: , то побудова модального регулятора легко зводиться до відповідної задачі з одновимірним сигналом керування. Інакше, позначимо ранг матриці  через  ( ). Тоді вектор-стовпці матриці  є лінійно незалежними. Зробимо у системі (1) заміну змінних , , де стовпці  вибираються так, щоб . Тоді система (3.1) набуде вигляду

  ,                      (3.2)

де , , , , ,

, , , .

Обидві підсистеми  і  є цілком керовними. Тобто задача побудови модального регулятора зводиться до двох підзадач меншого розміру з одновимірними сигналами керування.

Завдання для самостійної роботи

Для заданих матриць  і  стаціонарної системи керування  підібрати такий обернений зв’язок , щоб матриця  одержаної замкненої системи мала власними числами , значення яких вводяться в інтерактивному режимі. Проведення відповідних розрахунків можна виконувати засобами стандартних пакетів Maple, Mathcad чи Matlab.

1.     

2.

3.

4.

5.               

6.  

7.       

8.

9.

10.

11.        

12.

13.       

14.

15.

16.

17.      

18.

19.       

20.

21.      

22.

23.        

24.

25.       

26.

27.       

28.

Лабораторна робота №4