Решение систем линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

.                           (1)

Если хотя бы одно из чисел  не равно нулю, то такая система называется неоднородной.Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной.Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

Матричный метод решения СЛАУр

 Запишем систему линейных уравнений в матричной форме. Введем обозначения:

, , .

где А – матрица коэффициентов системы,

Х – вектор-столбец неизвестных,

В – вектор-столбец свободных членов.

Тогда систему (1) можно кратко записать в матричной форме .

Умножив обе части равенства слева на матрицу , получим

, но 

следовательно, . Эта формула дает решение системы (1) в матричной форме.

Пример 1

Решить систему  матричным методом.

Решение

Матрица этой системы ,

обратная матрица имеет вид

Применяя формулу , получим

Следовательно, , , .

Формулы Крамера для решения СЛАУр

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера:

,

где

.

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы  заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

 Пример 2 

Решить систему   по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

,

, тогда

, , . Итак, , , .  

Контрольное задание № 3

В данном задании используются индивидуальные параметры: m–число букв в Фамилии студента, n–число букв в полном Имени студента.

1.1. Найти значение матричного многочлена , если , , .

1.2. Вычислить определитель по правилам треугольника и диагоналей и разложением по любой строке (или столбцу): .

1.3. Найти матрицу обратную к матрице  и проверить выполнение равенства .

1.4. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Гаусса: .