Начальные и центральные моменты случайных величин

88. Сформулируйте определение начальных  и центральных  моментов случайной величины. Докажите, что если  и  – независимые случайные величины, то  

89. Пусть  – начальные, а  – центральные моменты некоторой случайной величины. Докажите, что  и  

90. Сформулируйте определение асимметрии  случайной величины  и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?

91. Сформулируйте определение эксцесса  случайной величины  и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

92. Найдите асимметрию и эксцесс равномерного распределения на отрезке  

Случайные векторы

● Функция распределения и функция плотности случайного вектора

93. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора  и дайте его геометрическую интерпретацию.

94. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора  и приведите пример двумерной функции распределения.

95. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса .

96. Как найти функцию распределения  двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения  для случайного вектора  равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами  и .

97. Как найти функции плотности  и  компонент  и , если известна функция плотности  двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности  и найдите плотности компонент.

● Случайные векторы с независимыми компонентами

98. Как можно найти функцию  плотности распределения случайного вектора  с независимыми компонентами  и , если известны их плотности распределения  и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике ? Ответ обоснуйте.

99. Как можно найти функцию распределения  случайного вектора  с независимыми компонентами  и , если известны их функции распределения  и ? Ответ обоснуйте.

● Числовые характеристики случайного вектора

100. Как найти математическое ожидание функции , где  – компоненты случайного вектора ? Как определяются начальные  и центральные  моменты случайного вектора ?

101. Каков смысл начальных ,  и центральных  моментов двумерного случайного вектора ? Ответ обоснуйте.

102. Дайте определение корреляционной и ковариационной матриц для системы случайных величин  и сформулируйте их основные свойства.

103. Как найти ковариацию Cov  случайных величин  и , если известна функция плотности  двумерного распределения ? Верно ли, что из равенства Cov  вытекает независимость  и , если  – двумерный нормальный случайный вектор?

104. Укажите формулу для плотности распределения случайной величины , если  – двумерный случайный вектор с функцией плотности  и независимыми компонентами  и . Приведите пример ее применения.

● Условные распределения и условные математические ожидания

105. Как определяются условные законы распределения для дискретных случайных величин  и ?

106. Сформулируйте определение условной функции распределения случайной величины  при условии . Как определяется условная плотность  распределения? Чему равна , если случайные величины  и  независимы?

107. Как определяется условное математическое ожидание непрерывной случайной величины  при условии  и математическое ожидание случайной величины  при условии ? Докажите, что  и .