Непрерывные случайные величины

● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

72. Дайте определение непрерывной случайной величины . Чему в этом случае равна вероятность , где  – определенное число? Следует ли из равенства  для непрерывной случайной величины , что событие  никогда не наступает?

73. Какое распределение называется абсолютно непрерывным? Что такое плотность распределения и какова ее связь с функцией распределения? Может ли абсолютно непрерывная случайная величина иметь разрывную функцию плотности ? Ответ обоснуйте.

74. Перечислите основные свойства функции плотности вероятности. Чем объясняется название «плотность вероятности»?

● Основные законы распределения непрерывных случайных величин

75. Как определяется показательный закон распределения с параметром ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и постройте графики функций и .

76. Как определяется равномерный закон распределения на отрезке ? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и постройте графики функций и .

77. Возможно ли равномерное распределение на всей числовой оси? Чему равна вероятность  для равномерно распределенной на отрезке  случайной величины ? Рассмотрите случаи: 1)  и 2)  

78. Как определяется нормальный закон распределения на прямой? Укажите формулу для функции плотности , найдите соответствующую функцию распределения  и приведите формулу для вычисления вероятности .

79. Запишите плотность распределения нормальной случайной величины , для которой . Как изменится график плотности распределения, если: а) увеличится  б) увеличится ?

● Числовые характеристики непрерывных случайных величин

80. Как вычисляется математическое ожидание в случае распределения с плотностью ? Может ли для какой-либо абсолютно непрерывной случайной величины не существовать математического ожидания? Ответ обоснуйте.

81. Как вычисляется дисперсия в случае распределения с плотностью ? Докажите, что для случайной величины  с плотностью  дисперсия  не существует, а математическое ожидание существует.

● Основные характеристики типичных непрерывных распределений

82. Выведите формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины, равномерно распределенной на отрезке  

83. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра  в формуле  для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.

84. Объясните (с доказательством) вероятностный смысл параметра  в формуле  для функции плотности случайной величины , распределенной по нормальному закону.

85. Докажите, что для случайной величины, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание  

86. Случайная величина  равномерно распределена на отрезке  Можно ли для любых  и  подобрать параметры  и  так, чтобы ? Как по  и  найти  и ?  

87. Что такое правило  для нормального распределения? Верно ли, что для любой нормальной случайной величины  существует отрезок  для которого ? Ответ обоснуйте.