Первый и второй дифференциал. Касательная плоскость.

3.1.Найдите приращение  и дифференциал  функции  в точке (1; 1).

3.2.Найдите приращение  и дифференциал  функции  в точке (1; 1).

3.3.Найдите первый дифференциал функции f в данной точке

а) , (1; 1)

б) , (2; 1)

в) , (1; 0; 1)

г) , (3; 2; 1)

г) , (1; 1; 1)

3.4.Найдите первый дифференциал функции

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

3.5.Найдите все частные производные второго порядка

а)

б)

в)

г)

д)

е)

3.6.Покажите, что если , то .

3.7.Покажите, что если , то .

3.8.Найдите все производные третьего порядка

а)

б)

в)

г)

3.9.Найдите вторые дифференциалы

а)

б)

в)

г)

д)

е)

3.10.Найдите точки, в которых  если

а)

б)

в)

3.11.Найдите точки, в которых первый дифференциал функции  равен нулю

а)

б)

3.12. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , где А(2; 6), B(2; 6,01), C(2,02; 6). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.13. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , где А(3; 7), B(3; 7,01), C(3,02; 7). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.14.Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , при этом А(3; 6), B(3; 6,01), C(3,02; 6). Найдите приближенно частные производные в точке A. В ответе укажите значение производной по направлению вектора .

3.15.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (2;-1; 1).

3.16.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (1; 1; 1).

3.17.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (1; 0; 0).

3.18.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (2; 1; 3).

3.19.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (3; 2; 2).

3.20.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (1; 1; 2).

3.21.Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке (2; 1; 0).

3.22.Напишите уравнение плоскости, касательной к поверхности , параллельной плоскости .

3.23.Напишите уравнение плоскости, касательной к поверхности  , параллельной плоскости .

3.24.Напишите уравнение плоскости, касательной к сфере , перпендикулярной плоскостям  и .

3.25Дана дифференцируемая функция двух переменных f(P) = f(x; y), у которой известны значения f(A) = –7, f(B) = –7.02, f(С) = –7.04 в точках А(6; 4), B(6.01; 4), C(6; 3,98). Найдите приближенно:

а) Частные производные и первый дифференциал в точке A.

б) Значение функции в точке D(5.95; 4.02).

в) Касательную плоскость к поверхности z = f(P) в точке А.

г) Нормаль к поверхности графика z = f(P) в точке А.

д) Градиент в точке А.

е) Производную в точке A по направлению, составляющему угол  с градиентом.

ж) Производную в точке A по направлению к точке D (с помощью градиента и по определению).

  з) Линию уровня, равного f(A), в окрестности точки A (при дополнительном предположении, что в этой окрестности функция f(P) имеет непрерывные частные производные).