Тема 3. Повторные независимые испытания.

Задачи.

4.1.При установившемся технологическом процессе автомат производит 0,75 числа деталей первого сорта и 0,25 – второго сорта. Установить, что является более вероятным – получить 3 первосортных детали среди 5 наудачу отобранных или 4 первосортных детали среди 6 наудачу отобранных?

4.2. Сколько раз нужно подбрасывать монету, чтобы вероятность того, что герб выпадет 3 раза, равнялась 0,25? Какова вероятность того, что при 100 подбрасываниях герб выпадет более 60 раз?

4.3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2.

а) Сколько нужно приобрести билетов, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, среди них был хотя бы один выигрышный?

б) Определить с вероятностью 0,9973 границы отклонения доли выигрышных билетов из 900 купленных от вероятности этого события.

4.4. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 90% изделий первого сорта.

а) Какова вероятность того, что среди 5 наудачу выбранных изделий будет не менее 4 изделий первого сорта?

б) С какой вероятностью среди 1000 наудачу выбранных изделий будет ровно 910 изделий первого сорта?

4.5.Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди отобранных восьми волокон смеси обнаружить менее четырех окрашенных?

4.6. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника не менее 3 партий из 4 или не менее 5 партий из 8? Сколько партий надо провести, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было ожидать, что отклонение доли выигрышных партий от вероятности этого события не превысит 0,1?

4.7. В отдел контроля за качеством продукции поступают изделия из трех производственных цехов, доли которых составляют соответственно 30%, 30% и 40%. В среднем среди изделий, изготовляемых в первом цехе, бывает 3% брака, во втором – 5%, в третьем – 4%. С какой вероятностью среди 1000 поступивших в отдел контроля изделий будет не более 30 бракованных?

4.8.Каждый из 4 станков в течение 6 часов работы останавливается несколько раз и всего в сумме простаивает час, причем остановка его в любой момент времени равновероятна. Найти вероятность того, что в данный момент времени будут работать два станка?

4.9. Авиакомпания знает, что 2% людей, делающих предвари­тельный заказ на билет определенного рейса, не будут ис­пользовать его. 

а) Определить вероятность того, что из 6 заказавших билет откажется от полета не более человека .

а) Какова вероятность того, что из 2000 заказанных билетов не будут использованы менее 45.

4.10. В автобусном парке ежедневно выходит на линию 300 автобусов. Вероятность выхода из строя двигателя у каждого автобуса равна 0,1.

а) Определить вероятность того, что в течение дня выйдут из строя не более, чем 12 двигателя.

б) Определить с вероятностью 0,9876 границы, в которых лежит отклонение доли вышедших из строя автобусов от вероятности этого события.

4.11. Вероятность прорастания зерна равна 0,8. Определить наивероятнейшее число зерен, которые прорастут из 400 зерен и вероятность этого события.

4.12. По данным банковской статистики доля возвращенных кредитов составляет в среднем 80%.

а) Определить наивероятнейшее число кредитов, возвращенных 200 клиентами банка, и его вероятность.

б) Какова вероятность того, что доля кредитов, возвращенных 200 клиентами банка, будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04?

4.13. В результате проверки качества приготовленного для посева зерна было установлено, что 80% зерен всхожие.

а) Определить вероятность того, что среди отобранных и высаженных 200 зерен прорастет не менее 140.

б) Сколько зерен надо посадить, чтобы с вероятностью 0,9722 можно было ожидать, что отклонение доли взошедших зерен от вероятности этого события не превысит 0,2?

4.14. Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать.

а) Какова вероятность того, что из 6 человек, заказавших на сегодня столик, придут в ресторан ровно трое?

б) Определить вероятность того, что из 2100 заказов, сделанных за год, реализуются не менее 1000 и не более 1500.

4.15. Наиболее вероятное число появлений некоторого события при независимых испытаниях равно 50, а вероятности его не наступления и наступления в каждом опыте одинаковы.

а) Оценить абсолютную величину отклонения частости появления события от вероятности его появления с вероятностью 0,9973.

б) Какова вероятность того, что число наступлений события при независимых испытаниях превышает 55.

4.16. Вероятность рождения мальчика составляет 0,515.

а) Какова вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет 520?

б) Сколько детей должно родиться, чтобы с вероятностью 0,9281 можно было ожидать, что отклонение доли мальчиков среди них от вероятности этого события не превысит 0,1?

4.17. Записи страховой компании показали, что в среднем 15% держателей страховых полисов старше 50 лет предъявляют претензии на полученные страховки. В настоящее время компания оформила полисы 600 клиентам в возрасте от 50 лет.

а) Какова вероятность того, что 500 из них не предъявят претензии на полученные страховки?

б) С какой вероятностью доля потребовавших получения страховки будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,05?

4.18. На юниорских соревнованиях 100 участников поделили на две возрастные группы. При этом, в старшей группе оказалось в 1,5 раза больше спортсменов, чем в младшей. Вероятность того, что участник старшей группы улучшит свой результат составляет 0,82, младшей – 0,27. Какова вероятность того, что не менее половины спортсменов улучшат свой результат?

4.19. Вероятность про­дажи украшения при единичном контакте с покупателем в ювелирном магазине равна 0,001.

а) Вычислить вероятность того, что из 200 посетителей ювелирного магазина более 2 совершат покупки.

а) Как изменится эта вероятность, если вероятность про­дажи украшения увеличится до 0,2.

4.20. Вероятность того, что купленная в магазине лампочка не будет работать, равна 0,02.

а) Сколько лампочек нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей  0,9, все они оказались работающими?

б) Определить вероятность того, что среди 3000 лампочек окажется не менее 50 и не более 200 неработающих.

4.21. Кандидат на выборах считает, что 70% избирателей в опре­деленной области поддерживают его избирательную плат­форму.

а) Какова вероятность того, что из 100 человек кандидата поддержат не менее 80?

б) С какой вероятностью доля сторонников кандидата будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,1?

4.22. Вероятность того, что случайно выбранный гражданин является добросовестным налогоплательщиком, составляет 0,8.

а) Найти вероятность того, что при проверке 1800 налоговых декларации, инспектор не обнаружит нарушений не менее, чем в 1400 документах и не более, чем в 1460.

б) Сколько налоговых деклараций необходимо проверить, чтобы с вероятностью 0,97 можно было ожидать, что отклонение доли документов, в которых не обнаружены нарушения, от вероятности этого события не превысит 0,05?

4.23. Коэффициент простоя станка в среднем равен 0,1. В цехе имеется 12 таких станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени при нормальном процессе производства 8 из 12 станков будут работать?

4.24.Каждый житель некоторого поселка 5 раз в месяц выезжает в город. Считая, что выбор дня поездки случаен, определить, сколько вагонов должно быть в электричке, чтобы она переполнялась не чаще 1 раза в 100 дней (число мест в одном вагоне принять равным 60), если в поселке проживает 3600 жителей.

4.25.Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько клемм необходимо взять наудачу, чтобы вероятность того, что среди них число стандартных отличается от среднего значения такого числа (по модулю) меньше, чем на 10, была равна 0,9586?

4.26. По данным статистики телевизионной компании в некотором районе телевизор не смотрят 13% жителей. Найти вероятность того, что из 200 случайно опрошенных жителей этого района телевизор смотрят:

а) 170 человек.

б) не менее 170 человек.

4.27. Исследованию подлежат 400 проб руды.

а) Вероятность того, что промышленное содержание железа в каждой пробе выше 50%, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 400 исследованных проб число проб руды с промышленным содержанием железа выше 50% не менее 300.

б) Вероятность того, что промышленное содержание железа в каждой пробе выше 98%, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 исследованных проб число проб руды с промышленным содержанием железа выше 98% более 3.

4.28. Вероятность того, что введение инноваций приведет к росту производительности производства, равна 0,9.

а) Какова вероятность того, что из 1600 предприятий области число увеличивших производительность после введения инноваций составит более 1430 и менее 1480?

б) Сколько предприятий нужно проверить, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было утверждать, что доля увеличивших производительность среди них отклонится по абсолютной величине от 0,9 не более, чем на 0,05?

4.29. Вероятность попадания стрелка по мишени при каждом выстреле 0,3.

а) Для поражения мишени достаточно попасть 3 выстрела из 5. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

б) Какова вероятность того, что среди 2100 выстрелов  попаданий  окажется от 600 до 640?

4.30. При обработке некоторой детали наблюдается в среднем 5% нарушений норм ее установленных размеров.

а) Какова вероятность того, что из 500 изготовленных деталей нормы установленных размеров будут нарушены не более, чем у 20?

а) Установить необходимое количество деталей, подлежащих обработке, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что отклонение частости появления неточных деталей от вероятности этого события не превысит 0,02.

4.31. На военных учениях стрельба по целям ведется тремя орудиями. Цель считается пораженной в результате одновременного залпа трех орудий, если в нее попали не менее 2-х орудий. Вероятность попадания в цель для первого орудия составляет 0,72, для второго – 0,5 и для третьего – 0,68. Производится 300 залпов. Определить вероятность того, что цель будет поражена не менее 220 раз.

4.32. В среднем 70% клиентов некоторого банка составляют частные предприниматели.

а) Вычислить вероятность того, что из 6 клиентов этого банка не менее четырех являются частными предпринимателями

б) Какова вероятность того, что из 120 клиентов частных предпринимателей менее 2 / 3?

4.33. Среди студентов факультета в среднем 20% составляют отличники, 40% учатся хорошо, 30% - удовлетворительно и 10% - неуспевающие. Для отличника вероятность того, что он сдаст экзамен по теории вероятностей равна 1, если он учится хорошо – 0,8, для студентов, учащихся удовлетворительно, – 0,25, для неуспевающих – 0,05. Какова вероятность того, что из 400 студентов сдадут экзамен не менее 250 человек.

4.34. Возраст 20% населения некоторого региона не превышает 30 лет, 55% находятся в возрасте от 30 лет до 45 лет, остальные – старше 45 лет. В среднем 90% младшей возрастной группы, 95% - средней возрастной группы и 99% старшей возрастной группы не склонны менять место жительства. Найти вероятность того, что из 2000 случайно опрошенных жителей региона число изъявивших желание мигрировать составит от 80 до 120 (включительно).

4.35. На склад поступает продукция с трех фабрик, доля которых составляет соответственно 30%, 32% и 38%. В продукции первой фабрики 60% изделий высшего сорта, второй – 50%, третьей – 40%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых изделий число изделий высшего сорта а) равно 147? б) заключено между 150 и 200?

4.36. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,005. С какой вероятностью можно ожидать не менее 5 поврежденных изделий среди 1000 отправленных? Какое самое ожидаемое число поврежденных изделий?

4.37. В среднем 80% школьников изучают английский язык.

а) Определить вероятность того, что из 6 детей школьного возраста, гуляющих во дворе, хотя бы двое знакомы с основами английского языка.

б) Какова вероятность того, что из 400 случайно опрошенных детей английский язык изучают менее 300?

4.38.В среднем 95% автовладельцев устанавливают противоугонные устройства и тем самым снижают вероятность угона машины с 0,21 до 0,01. Какова вероятность того, что число угнанных машин из 10000, зарегистрированных в некотором городе, окажется в интервале от 150 до 210.

4.39. Проводятся повторные независимые испытания (по схеме Бернулли). Найти вероятность р - вероятность появления А в отдельном испытании, если между вероятностями наступления события А в 10 испытаниях m раз выполняется следующее соотношение: 

23*Р₁₀(5)/P₁₀(4) - 12*P₁₀(6) /P₁₀(4) = -6.

4.40. Сколько раз нужно подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений «пятёрки» на верхней грани было равно 5?  Какие из этих значений числа испытаний имеют по два наивероятнейших числа наступлений интересующего нас события? Чему равны вероятности соответствующих событий?

4.41.Сколько раз нужно подбросить монетку, чтобы наивероятнейшее число появлений «орла» на верхней грани было равно 10? Какие из этих значений числа испытаний имеют по два наивероятнейших числа наступлений интересующего нас события? Чему равны вероятности соответствующих событий?

4.42. Каждую секунду некоторый сигнал приходит с вероятностью 0,002. Какова вероятность, что за час придёт не менее 3-х сигналов? Какое число сигналов наиболее вероятно придет за час?

4.43. Производится 4 независимых выстрела зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью 0,4. Если в резервуар попал 1 снаряд, он воспламеняется с вероятностью 0,8; если попадает 2 снаряда – с вероятностью 0,9; не менее 3-х снарядов - воспламеняется с полной достоверностью. Какова вероятность воспламенения резервуара в таких условиях?

4.44. На одном из факультетов института обучается 1825 человек. Какова вероятность, что 8 марта у 3-х из них день рождения (считая все дни рождения в году (обычном, 365 дней) равновероятными для всех студентов)? Какое число студентов с таким днем рождения является наивероятнейшим и какова его вероятность? С какой вероятностью 7 человек факультета празднуют день рождения в один день?