Теоремы сложения и умножения вероятностей

Задачи.

2.1. Из урны, содержащей 5 синих, 3 черных и 2 белых шара, извлекаются одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары будут разных цветов.

2.2. Из полной колоды карт (36 шт.) извлекают случайным образом 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей:

а) в условиях выбора без возвращения карт обратно в колоду;

б) в условиях выбора с возвращением каждой извлечённой карты обратно в колоду;

2.3. Каждая буква слова МАТЕМАТИКА написана на отдельной карточке, которые тщательно перемешаны. Последовательно случайным образом извлекаются 4 карточки. Какова вероятность получить при извлечении слово ТЕМА?

2.4. Номер серии выигрышного билета лотереи состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что первый номер выигравшей серии будет состоять только из нечетных цифр.

2.5. Условиями приема партии деталей допускается не более одной бракованной детали из пяти. Найти вероятность того, что партия из 10 деталей, среди которых 3 бракованных, будет принята при испытании выбранной наудачу половины всей партии.

2.6. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта?

2.7. Вероятность только одного попадания в цель при одновременном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели первым орудием, если для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

2.8. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; второй – 0,8; третий – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа:

а) ни один станок не потребует внимания рабочего;

б) все три станка потребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станок потребует внимания рабочего?

2.9. Агрегат имеет три двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выхода из строя первого двигателя равна 0,01, второго – 0,02, третьего – 0,03. Какова вероятность выхода агрегата из строя.

2.10. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится

а) с возвращением;

б) без возвращения.

2.11. При раздаче колоды карт в 52 карты четырем игрокам (полностью) один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на невезение? Какова вероятность такого события?

2.12. Радист трижды вызывает корреспондентов. Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов равна 0,2; второй – 0,3; третий – 0,4. По условиям приема события, состоящие в том, что i-й по счету вызов (i = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) вообще услышит радиста;

б) не услышит радиста.

2.13. В театральной кассе к некоторому моменту времени остались: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель покупает лишь один билет в любой из возможных театров. Два человека из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность того, что:

а) куплены билеты в разные театры;

б) куплены билеты в какой-нибудь один театр;

в) все билеты в театр эстрады распроданы;

г) билет в театр комедии куплен раньше, чем билет в театр эстрады.

2.14. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения положительной оценки необходимо решить 2 задачи. Для каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только 1 правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что студент получит положительную оценку?

2.15.Наудачу подбрасываются две игральные кости. Какова вероятность того, что:

а) сумма выпавших очков четна;

б) произведение очков четно;

в) на одной из костей число очков четно, а на другой нечетно;

г) ни на одной из костей не выпало 6 очков?

д) на обеих костях выпало одинаковое число очков?

2.16. Вероятность улучшить свой прежний результат для данного спортсмена равна p. Найти вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается сделать 2 попытки.

2.17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места. Как изменится вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?

2.18. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более пяти изделий последовательно друг за другом. При обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в ней составляет 4%.

2.19.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что с двух выстрелов цель будет поражена.

2.20. В механизм входят 2 одинаковые детали. Механизм не будет работать тогда, когда обе поставленные детали будут уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из которых 3 меньше стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать, если детали извлекаются случайно.

2.21. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна 0,15; второй – 0,05; третий – 0,02. Определить вероятность того, что в течение года в компанию обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов – события независимые?

2.22. Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью 0,8, стрелок В – с вероятностью 0,7 и стрелок С – с вероятностью 0,6. Был сделан залп по мишени одновременно всеми стрелками, в результате чего 2 пули попали в цель. Найти вероятность того, что:

а) стрелок С попал в цель;

б) стрелок С не попал в цель.

2.23. Вероятность того, что проходящая мимо бензоколонки машина подъедет к заправке, равна 0,4. Сколько машин должно пройти мимо заправки, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы одна из них потребует заправки?

2.24. Сколько раз нужно бросить две игральные кости, чтобы с вероятностью не меньше 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?

2.25.Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6; груши – 0,5; винограда – 0,4. В саду было посажено по одному дереву каждого вида. Прижилось два саженца. Какое событие при этом более вероятно: саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?

2.26. Производится подбрасывание игральной кости до появления 6 очков на верхней грани. Найти вероятность того, что придется сделать 5 подбрасываний?

2.27.Два стрелка производят стрельбу по мишени, вероятности попадания в которую для каждого из них одинаковы и равны 0,8. Найти вероятность того, что при трех выстрелах у первого стрелка будет больше попаданий, чем у второго?

2.28. На полке имеется 15 тетрадей, из которых 3 в линейку, а остальные – в клетку. Найти вероятность того, что при случайном изымании трех тетрадей не более двух из них будет в клетку.

2.29.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было ожидать, что среди них есть хотя бы один промах?

2.30.Вероятность того, что студент ответит на теоретический вопрос билета равна 0,9, решит предложенную задачу – 0,8. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, состоящий из одного теоретического вопроса и двух задач, если для этого необходимо обязательно ответить на теоретический вопрос и решить хотя бы одну задачу?

2.31. Вероятность успешной сдачи экзамена по математической статистике равна 0,7, а при каждой следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математической статистике, если пересдавать экзамен можно не более двух раз?

2.32.Команда состоит из двух стрелков. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Каждому в случае промаха разрешено сделать еще один выстрел. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?

2.33. В продаже имеется 50 альбомов по 50 копеек, 30 альбомов – по 70 копеек и 20 альбомов – по 1 рублю. Какова вероятность того, что стоимость двух купленных альбомов не превысит 1,5 рубля?

2.34.Имеется пять ключей, из которых только один подходит к двери. Ключ подбирается наудачу. Какова вероятность того, что для открывания двери придется сделать не более двух проб?

2.35. Фирма по продаже компьютеров проводит рекламную кампанию нового модельного ряда по радио и телевидению. При оценке эффективности рекламы выяснилось, что, в среднем, более 80% населения видели рекламу по телевидению (событие А), и более 40% - слышали по радио (событие В). Проверить справедливость следующих утверждений:

а) А и В несовместны,

б) А и В противоположны,

в) Р(АВ) > 0,2.

2.36. В коробке 12 новых теннисных мячей. Для игры берут 3 мяча, после игры возвращают их обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличаются. Какова вероятность, что после 4-х игр в коробке не останется новых мячей.

2.37. В урне 4 белых и 5 чёрных шаров. Два игрока по очереди вытаскивают шары до появления белого шара. Тот, кто первым вытащит белый шар – выигрывает. Какова вероятность, что выиграет первый игрок?

2.38. Исследование, проведенное маркетинговой службой компании, показало, что, в среднем, 10% клиентов не довольно качеством оказываемых компанией услуг. Сколько клиентов должна обслужить компания, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9, можно утверждать, что хотя бы один из них будет не доволен качеством оказываемых услуг?

2.39. Студент знает к зачету только 15 вопросов из 30. Он считает, что если пойдет отвечать вторым, то его шансы вытянуть счастливый билет увеличатся. Прав ли он? Докажите.

2.40. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фир­ме «А» 5 сотрудников списочного состава в 40 человек — «мертвые души». Прове­ряющий инспектор утверждает, что для обнаружения хотя бы одной «мертвой души» ему достаточно проверить 6 наугад выбранных нарядов на выполненные работы. Какова вероятность этого события?

2.41. Студент ищет работу. Он побывал на собеседовании в банке и в страховой компании. Вероятность своего успеха в банке он оценивает в 0,2, в страховой компании – в 0,1. Какова вероятность того, что: а) студент устроится на работу; б) студент получит предложение только из одного места?

2.42. Машина оснащена электронной сигнализацией и механической блокировкой рычага переключения передач. Вероятность того, что угонщик справится с сигнализацией, составляет 0,1; сломает блокиратор – 0,2. Сколько попыток должен предпринять угонщик, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно утверждать, что хотя бы одна из них будет успешна?

2.43. Менеджер по кадрам ищет сотрудника с высшим экономическим образованием и опытом работы на замещение вакансии начальника отдела долговых обязательств. По своему опыту он знает, что в среднем 70% претендентов имеют высшее экономическое образование, и 30% - опыт руководящей работы и эти события независимы. Сколько резюме должен просмотреть менеджер по кадрам, чтобы с вероятностью не меньшей 0,98, хотя бы один претендент удовлетворял обоим требованиям к вакансии?

2.44. А и Б стреляют в тире, но у них есть только один шестизарядный револьвер с одним патроном. Поэтому они договорились по очереди случайным образом крутить барабан и стрелять. Начинает А. Найдите вероятность того, что выстрел произойдет, когда револьвер будет у А.

2.45. Игроки поочередно подбрасывают монетку, пока не появится «орёл» - тогда игрок выигрывает. Какова вероятность выигрыша у каждого из игроков, если играет:

а) 2 человека;

б) 3 человека;

в) 4 человека;

г) n игроков.

2.46. Старинная задача.

Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковый размер обуви, надевают калоши в темноте. Каждый их них может отличить правую калощу от левой, но не может отличить свои от чужих. Какова вероятность, что:

а) каждый гость наденет свои калоши;

б) каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (не обязательно свои).

2.47. Из колоды 36 карт наудачу извлекается 4 карты. Если рассмотреть варианты возвращения каждой извлеченной карты обратно в колоду и  выбор без  возвращения, какова вероятность, что:

а) это будут 4 туза;

б) не окажется ни одной карты красной масти (♥,♦);

в) будет 2 бубновых карты и две пиковых;

г) будет хотя бы одна карта трефовой масти.

Задачу решить с использованием теорем сложения-умножения вероятностей (можно проверить себя комбинаторикой).

2.48. Найти число изделий в партии, если известно, что она состоит из изделий 1-го и 2-го сорта, при этом,  если из этой партии взять наугад два изделия, то вероятность того, что:
- оба изделия 1-го сорта, равна 15/26;
- разных сортов 5/13.

2.49.Оптовая база заключает договоры с магазинами на снабжение товарами. Известно, что от каждого магазина заявка на обслуживание на очередной день может поступить на базу с вероятностью 0,2, причем независимо от других магазинов. Требуется определить минимальное количество магазинов, с которыми база должна заключить договоры, чтобы с вероятностью не менее 0,95 от них поступала хотя бы одна заявка на обслуживание на очередной день.

2.50.  Правильным икосаэдром называется правильный двадцатигранник, все грани которого совершенно равноправны. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник.

Некоторые из граней окрашены в красный цвет, а остальные в синий. Если при бросании икосаэдра обнаружилось, что вероятность его остановки на красной грани в четыре раза больше вероятности его остановки на синей грани, то сколько его граней окрашено в красный цвет?

2.51. Администрация магазина, торгующего косметикой, провела исследование и установила, что из всех покупателей, посещающих их магазин и сделавших покупки, 70% приобретают духи/туалетную воду (событие А), 65% - декоративную косметику (событие В), а 55% - покупают и то, и другое.

а) Какова вероятность, что случайно взятый покупатель приобрел хотя бы одну из этих позиций? 

б) Какова вероятность, что покупатель приобрел только декоративную косметику? (что это за комбинация событий А и В?)

в) Каков процент покупателей, приобретающих что-то другое?

(Вспомните диаграммы Эйлера-Венна)

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Задачи.

3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке №1, 10 изготовлено на станке №2, остальные – на станке №3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке №1 равна 0,96, на станке №2 – 0,98. Вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,8.

а) Найти вероятность изготовления стандартной детали на станке №3.

б) Какова вероятность того, что извлеченная при случайном отборе стандартная деталь изготовлена на станке №2?

3.2. На сборку поступили детали с 4 автоматов. Второй дает 40%, а третий 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%. Сколько процентов продукции идет на сборку с четвертого автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?

3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6; 8 – с вероятностью 0,5; и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и 1/2 бракованных. Из каждой партии взято по одной детали, среди которых было обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что доброкачественная деталь принадлежит третьей партии.

3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?

3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что:

а) число бракованных изделий равно 6;

б) взятое бракованное изделие единственно.

3.7.  В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 12, а во втором – 15 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй ящик одна деталь.

а) Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной;

б) Какова вероятность того, что из первого ящика во второй переложили стандартную деталь, если наудачу извлеченная из второго ящика деталь оказалась стандартной?

3.8.В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, остальные – вторым. Известно, что 3% ламп первого и 5% ламп второго завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампа - стандартная?

3.9. Имеется 5 урн: в первой и второй – по 2 белых и 3 чёрных шара, в третьей и четвёртой – по 1 белому и 4 чёрных шара, в пятой урне – 4 белых и 1 чёрный шар. Из одной наудачу выбранной урны извлекли шар. Он оказался белым. С какой вероятностью он был извлечён из пятой урны?

3.10. В соответствии со статистикой некоторого банка 15% кредитов предоставляется другим банкам, 20% - государственным организациям, остальные – прочим клиентам. Вероятность того, что кредит не будет возвращен в срок составляет для них 0,03, 0,02 и 0,1 соответственно.

а) Определить общую долю невозвратов.

б) Какова вероятность того, что полученное банком уведомление о неисполнении обязательств по возврату кредита прислано государственной организвцией?

3.11. Имеется два ящика изделий, причем в первом ящике все изделия доброкачественны, а во втором только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящиках одинаково?

3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество деталей с четырех предприятий, взяли на проверку одну деталь. Продукция двух предприятий содержит по 3/4 доброкачественных деталей, а продукция остальных предприятий по 7/8 доброкачественных деталей.

а) Какова вероятность обнаружения бракованной продукции?

б) Какова вероятность того, что обнаруженное бракованное изделие изготовлено на предприятии, продукция которого содержит 3/4 доброкачественных деталей?

3.13. В двух ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекаются и перекладываются во второй ящик две детали. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика окажется стандартной.

3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. На обследование прибыло 10 мужчин и 40 женщин.

а) Какова вероятность того, что наудачу обследованный человек оказался дальтоником.

б) Какова вероятность того, что это мужчина?

3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8;

                              7 – с вероятностью 0,7;

                              4 – с вероятностью 0,6;

                              2 – с вероятностью 0,5.

Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с вероятностью 0,05.

а) Какова вероятность того, что изделие пройдет упрощенный контроль?

б) Найти вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.

3.17. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. В общем 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор создан из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного качества – 0,7.

а) Какова вероятность безотказной работы прибора?

б) Найти вероятность того, что прибор собран из высококачественных деталей, если он испытывался в течение времени t и работал безотказно.

3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9 и 0,9.

а) Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

б) какова вероятность того, что обнаруженный сбой произошел в оперативной памяти?

3.19. Из 10 студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, двое знают 20 билетов из 30; один успел повторить только 15 билетов; остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1.

3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены. Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Какое предположение о степени его подготовленности наиболее вероятно и какова его вероятность?

3.21. В продажу поступают телевизоры с трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. В магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего.

а) Какова вероятность приобрести исправный телевизор?

б) Какова вероятность того, что приобретенный исправный телевизор изготовлен на втором заводе?

3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой крови можно перелить либо кровь той же группы, либо кровь 1-й группы; человеку с 1-й группой крови можно перелить кровь только 1-й группы. Среди населения 33,7% имеют 1-ю группу крови, 37,5% - 2-ю группу, 20,9% - 3-ю группу и 7,9% - 4-ю группу. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.

3.23. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча, которые после игры возвращают обратно в ящик. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров, а 30% - для черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, на экспорт отправляется 40%. Найти вероятность того, что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для черно-белых телевизоров, будет отправлен на экспорт.

3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий:

10 партий по 10 изделий, из которых 8 стандартных и 2 нестандартных;

5 партий по 8 изделий, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных;

5 партий по 8 изделий, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных;

5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных и 1 нестандартная.

Из наудачу выбранной партии извлекается одно изделие.

а) Какова вероятность того, что оно нестандартная?

б) Найти вероятность того, что наудачу выбранное изделие, оказавшееся нестандартным, принадлежит последней партии.

3.26. Три машинистки перепечатывают рукопись. Первая напечатала 1/3 все рукописи, вторая – 1/4 всей рукописи, а третья напечатала остальное. Вероятность того, что первая машинистка сделает ошибку равна 0,15; вторая – 0,1; третья – 0,1.

а) Какова вероятность того, что при проверке будет обнаружена ошибка.

б) Найти вероятность того, что обнаруженная ошибка допущена первой машинисткой.

3.27.Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05. Вероятность обнаружения дефекта при приеме равна 0,95, а вероятность того, что годная деталь будет забракована, равна 0,02.Найти вероятность того, что:

а) деталь будет принята системой контроля;

б) принятая деталь окажется с дефектом;

в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.

3.28.Априорно установлено, что число дефектных деталей не превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось.

3.29.Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет первым или не первым?

3.30.В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар, и после тщательного перемешивания один шар извлекается. Он оказывается белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов равны 0,05, 0,03 и 0,02 соответственно. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?

3.32.Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2. Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный срок службы, равна 0,9, завода №2 – 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

3.33. Колода из 36 карт разбита на две кучки по 18 карт. В первой кучке оказалось 8 карт пиковой масти, а во второй – одна. Каждая кучка тщательно перетасовывается, затем из первой во вторую, не глядя, перекладывают 2 карты, и вторая кучка снова тасуется. После этого из второй кучки извлекают одну карту. Найти вероятность того, что эта карта пиковой масти.

3.34. По данным статистики, в среднем 65% посетителей гипермаркета составляют женщины и на 35% – мужчины. Причем, по результатам исследования, выяснилось, что покупки совершают 50% женщин и 80% мужчин.

а) Какова вероятность того, что случайно взятый покупатель окажется мужчиной?

б) Какова вероятность того, что он окажется женщиной?

3.35. Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 3/10; вероятность попадания в него в этом случае при каждом отдельном выстреле равна 1/5. Какова вероятность поражения противника при трех выстрелах?

3.36. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке — фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно пере­носится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка.

а) Какова вероятность того, что эта фамилия принадлежит мужчине?

б) Ес­ли предположить, что выбранная фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

3.37. Вероятность прибыльной торговли торговца квасом при солнечной погоде равна 90%, при переменной облачности – 50%, в дождливую погоду – 5%. По прогнозам синоптиков летом вероятность солнечной погоды составляет 70%, переменной облачности – 20%, в дождливую погоду – 10%.

а) Найти вероятность того, что продавец кваса получит прибыль.

б) По результатам работы за неделю продавец кваса остался в прибыли. Какова вероятность того, что в это время стояла дождливая погода?

3.38. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый ин­декс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,3, когда си­туация «посредственная», и с вероятностью 0,1, когда ситуа­ция «плохая».

а) Какова вероятность того, что в настоящий момент индекс экономи­ческого состояния увеличился?

б) Какова в случае увеличения индекса экономи­ческого состояния вероят­ность того, что экономика страны на «хорошем» уровне?

3.39. Из числа авиалиний некоторого аэропорта 60% — местные, 30% — по СНГ и 10% — в дальнее зарубежье. Среди пасса­жиров местных авиалиний 50% путешествуют по делам, свя­занным с бизнесом, на линиях СНГ таких пассажиров - 60%, на международных — 90%. Из прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбирается один. Чему равна вероятность того, что он:

а) бизнесмен;

Если он оказался бизнесменом, то какова вероятность, что он:

б) прибыл из стран СНГ;

в) прилетел местным рейсом;

г) прибыл международным рейсом.