Основные свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка [0, 1], т.е.

0 ≤ F(x) ≤ 1.

Это свойство следует из определения функции распределения.

2. Если х₂ >х₁, то

3.

                                 P(x₁≤X<x₂ ) = F(x₂)-F(x₁).                                            (1)

Доказательство. Представим событие, состоящее в том, что случайная величина примет значение, меньшее х_2, в виде суммы несовместных событий –

{w: X(w) < x₂} = {w: X(w)< х₁} È {w: x₁ ≤ X(w) < x₂}.

Так как события несовместные, применим аксиому 3 –

P(X < x₂) = P(X < x₁) + P(x₁ ≤ X < x₂),

но P(X < x₂) = F(x₂), P(X < x₁ ) = F(x₁), следовательно

                             F(x₂) = F(x₁) + P(x₁ ≤ X < x₂),                                             (2)

а это и означает, что   P(x₁≤X<x₂ ) = F(x₂)–F(x₁).

4. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. если

x₂ > x₁ => F(x₂) ≥ F(x₁).

Доказательство. Если x₂ > x_1, то справедливо соотношение (2). Но, согласно

аксиоме 1                                  P(x₁ ≤ X < x₂) ≥ 0,

следовательно, F(x₂) ≥ F(x₁).

5. P(X ≥ x ) = 1-F(x).

Доказательство. События {w: X(w) ≥ x} и {w: X(w) < x} – противоположные события, так как они несовместные и 

                        {w: X(w) ≥ x}È{w: X(w) < x} = Ω, следовательно,

Р{w: X(w) ≥ x} + Р{w: X(w) < x}=1, тогда Р(X(w) ≥ x) = 1–Р(X(w) < x) = 1 – F(x).

6. Если х ® ¥, то   .

Доказательство. Пусть x_1, …, x_n …– бесконечно возрастающая числовая последовательность, x_n → ∞ при n → ∞, надо доказать, что .

Рассмотрим последовательность несовместных событий А₁, А₂, …, А_n, …

А₁ = {w: X(w)<x₁}, А₂ = {w: x₁ ≤ X(w) < x₂}, …, A_n = {w: x_n-1 ≤ X(w) < x_n}, n = 3, 4, …

Очевидно, что событие {w: X(w) < x_n} можно представить в виде суммы событий А₁, А₂, …, А_n  

{w: X(w) < x_n}= .

Так как события A_i несовместны, то по аксиоме сложения

.

 Легко видеть, что событие, равное сумме всех событий А_i, является достоверным событием, т.е.

= Ω.

Тогда по аксиоме 2 и аксиоме 3` имеем

.

Замечание. Мы не пишем , так как не определен предельный переход под знаком вероятности.

6. Если x → - ∞, то F(x) → 0.

7. Функция распределения непрерывна слева, т.е. .

Свойства 6, 7 можно доказать при помощи аксиомы непрерывности, которая является альтернативной по отношению к аксиоме 3`. То есть в аксиоматику теории вероятностей вместо аксиомы 3` можно включить аксиому непрерывности, тогда аксиому 3` можно будет доказать как теорему и наоборот, аксиому непрерывности можно доказать с использованием аксиомы 3`.  

Аксиома непрерывности. Пусть A₁, A₂, .., A_n, … – последовательность событий из S, причём A₁ A₂ A₃ … A_n … и , тогда .

Доказательствосвойства 6. Рассмотрим произвольную бесконечно убывающую монотонную последовательность

x₁ > x₂ >…> x_n >…, причём x_n→-∞, n→∞.

Рассмотрим последовательность событий A₁, … , A_n, …, А_n ={w: (Х < х_n )}. По определению Р(А_n) = Р(Х< х_n) = F(х_n). Очевидно, что последовательность событий A₁, A₂, ..., A_n удовлетворяет условиям аксиомы непрерывности: 

A₁ A₂ A₃ … A_n … и .

 Тогда, , следовательно

.

График функции распределения F(x) изображен на рис.1.

Рис.1.

Приведем доказательство аксиомы непрерывности. Пусть даны события A₁, A₂, ...,A_n, … и A₁ A₂ A₃ … A_n … и .

Тогда, перейдя к противоположным событиям, получим

₁ Ì ₂ Ì ₃ Ì…. _n Ì …., _n = .

Представим события  и _n  в виде сумм несовместных событий

_n = ₁ È (А₁\А₂) È (А₂\А₃) È…È (А_n-1\Аn)

= ₁ È (А₁\А₂) È (А₂\А₃) È…È (А_n-1\Аn) È…

Убедиться в правильности этих равенств можно при помощи диаграмм Эйлера–Вена.

Используя расширенную аксиому сложения, получим

Р( ) = Р( ₁) + Р(А₁\А₂) + Р(А₂\А₃) +…+ Р(А_n-1\Аn) +…=

= ( Р( ₁) + Р(А₁\А₂) + Р(А₂\А₃) +…+ Р(А_n-1\Аn)) =

= Р( ₁ È (А₁\А₂) È (А₂\А₃) È…È (А_n-1\Аn)) = Р( _n).

Следовательно, Р( ) = Р( _n), но Р(А) = 1–Р( ), тогда Р(А) = 1–Р( ) =

=1– Р( _n) = (1–Р( _n)) = , т.е. получили, что = Р(А).