ЛЕКЦИЯ 4. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Случайная величина – одно из основных понятий теории вероятностей. В самом общем смысле случайная величина– это некоторая переменная величина, принимающая в зависимости от случая то или иное значение. Она может принимать числовое и не числовое (текстовое) значение.

Пример 1.

Пример 2.

Определение 1. Случайной величиной вероятностного пространства {Ω, S, P} называется любая функция X(w), определенная для wÎΩ, и такая, что для всех действительных х ( ) множество {w: X(w) < x}принадлежит полю S. Другими словами для любого такого события w определена вероятность P(X(w) < x) = P(X < x).

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами X, Y, Z, …, а значения случайных величин – строчными латинскими буквами x, y, z...

Определение 2. Случайная величина X называется дискретной, если она принимает значения только из некоторого дискретного множества. Другими словами, существует конечное или счетное число значений x₁, x₂, …, таких, что P(X = x_i) = р_i ³ 0, i = 1, 2…, причем  å p_i = 1.

Если известны значения случайной величины и соответствующие им вероятности, то говорят, что определен закон распределения дискретной случайной величины.

Если составлена таблица, в верхней части которой располагаются значения случайных величин, а в нижней части соответствующие им вероятности, то получим ряд распределения случайной величины, который задает закон распределения дискретной случайной величины.

Пример 3. Составим ряд распределения выпадения герба при 2 подбрасываниях монеты. Возможные исходы – ГГ, ГР, РГ, РР. Из возможных исходов видно, что герб может выпасть 0, 1 и 2 раза, с соответствующими вероятностями – ¼, ½, ¼. Тогда ряд распределения примет вид

X_i :     0   1    2

р_i :    ¼   ½  ¼

Определение 3.Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), зависящая от х Î R и принимающая значение, равное вероятности события w, что X < x, т.е.,F(x) = P{w: X(w) < x } = P(X < x ).

 Из определения следует, что любая случайная величина имеет функцию распределения.