Универсальное уравнение состояния идеального газа

Идеальным газом называется такой газ, у которого отсутствуют силы взаимного притяжения и отталкивания между молекулами и пренебрегают размерами молекул. Все реальные газы при высоких температурах и малых давлениях можно практически считать как идеальные газы.

Уравнение состояния как для идеальных, как и для реальных газов описываются тремя параметрами по уравнению (1.7).

Уравнение состояния идеального газа можно вывести из молекулярно-кинетической теории или из совместного рассмотрения законов Бойля-Мариотта и Гей-Люссака.

Это уравнение было выведено в 1834 г. французким физиком Клапейроном и для 1 кг массы газа имеет вид:

Р·υ = R·Т ,                                                                                                (2.10)

где: R - газовая постоянная и представляет работу 1 кг газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1 градус.

Уравнение (2.7) называют термическим уравнением состояния или характеристическим уравнением.

Для произвольного количества газа массой m уравнение состояния будет:

Р·V = m·R·Т .                                                                                           (2.11)

В 1874 г. Д.И.Менделеев основываясь на законе Дальтона ("В равных объемах разных идеальных газов, находящихся при одинаковых температурах и давлениях, содержится одинаковое количество молекул") предложил универсальное уравнение состояния для 1 кг газа, которую называют уравнением Клапейрона-Менделеева:

Р·υ = R_μ·Т/μ ,                                                                                           (2.12)

где: μ - молярная (молекулярная) масса газа, (кг/кмоль);

R_μ = 8314,20 Дж/кмоль (8,3142 кДж/кмоль) - универсальная газовая постоянная и представляет работу 1 кмоль идеального газа в процессе при постоянном давлении и при изменении температуры на 1 градус.

Зная R_μ можно найти газовую постоянную R = R_μ/μ.

Для произвольной массы газа уравнение Клапейрона-Менделеева будет иметь вид:

Р·V = m·R_μ·Т/μ .                                                                                      (2.13)

Смесь идеальных газов

Под газовой смесью понимается смесь отдельных газов, не вступающих между собой ни в какие химические реакции. Каждый газ (компонент) в смеси, независимо от других газов, полностью сохраняет все свои свойства и ведет себя так, как если бы он один занимал весь объем смеси.

Парциальное давление – это давление, которое имел бы каждый газ, входящий в состав смеси, если бы этот газ находился один в том же количестве, в том же объеме и при той же температуре, что и в смеси.

Газовая смесь подчиняется закону Дальтона:

Общее давление смеси газов равно сумме парциальных давлений отдельных газов, составляющих смесь.

Р = Р₁ + Р₂ + Р₃ + . . .Р_n = ∑ Р_i ,                                                            (2.14)

где Р₁ , Р₂ , Р₃ . . .Р_n – парциальные давления.

Состав смеси задается объемными, массовыми и мольными долями, которые определяются соответственно по следующим формулам:

r₁ = V₁ / V_см ; r₂ = V₂ / V_см ; … r_n = V_n / V_см ,                                          (2.15)

g₁ = m₁ / m_см ; g₂ = m₂ / m_см ; … g_n = m_n / m_см ,                                    (2.16)

r₁^′ = ν₁ / ν_см ; r₂^′ = ν₂ / ν_см ; … r_n^′ = ν_n / ν_см ,                                             (2.17)

где V₁ ; V₂ ; … V_n ; V_см –объемы компонентов и смеси;

m₁ ; m₂ ; … m_n ; m_см – массы компонентов и смеси;

ν₁ ; ν₂ ; … ν_n ; ν_см – количество вещества (киломолей) компонентов и смеси.

Для идеального газа по закону Дальтона:

r₁ = r₁^′ ; r₂ = r₂^′ ; … r_n = r_n^′ . (2.18)

Так как V₁ +V₂ + … + V_n = V_см и m₁ + m₂ + … + m_n = m_см , то

r₁ + r₂ + … + r_n = 1 ,                                                                                  (2.19)

g₁ + g₂ + … + g_n = 1.                                                                                (2.20)

Связь между объемными и массовыми долями следующее:

g₁ = r₁∙μ₁/μ_см ; g₂ = r₂∙μ₂ /μ_см ; … g_n = r_n∙μ_n /μ_см ,                                   (2.21)

где: μ₁ , μ₂ , … μ_n , μ_см – молекулярные массы компонентов и смеси.

Молекулярная масса смеси:

μ_см = μ₁ r₁ + r₂ μ₂+ … + r_n μ_n .                                                                 (2.22)

Газовая постоянная смеси:

R_см = g₁ R₁ + g₂ R₂ + … + g_n R_n = = R_μ (g₁/μ₁ + g₂/μ₂+ … + g_n/μ_n ) =

= 1 / (r₁/R₁ + r₂/R₂+ … + r_n/R_n) .                                                              (2.23)

Удельные массовые теплоемкости смеси:

с_{р см.} = g₁ с_{р 1} + g₂ с_{р 2} + … + g_nс_{р n} .                                                      (2.24)

с_{v см.} = g₁с_{р 1} + g₂с_{v 2} + … + g_nс_{v n} .                                                        (2.25)

Удельные молярные (молекулярные) теплоемкости смеси:

с_{рμ см.} = r₁ с_{рμ 1} + r₂ с_{рμ 2} + … + r_nс_{рμ n} .                                                   (2.26)

с_vμсм. = r₁с_{vμ 1} + r₂с_{vμ 2} + … + r_nс_{vμ n} .                                                      (2.27)

Тема 3. Второй закон термодинамики

Основные положения второго закона термодинамики

Первый закон термодинамики утверждает, что теплота может превращаться в работу, а работа в теплоту и не устанавливает условий, при которых возможны эти превращения.

Превращение работы в теплоту происходит всегда полностью и безусловно. Обратный процесс превращения теплоты в работу при непрерывном её переходе возможен только при определенных условиях и не полностью. Теплота сам собой может переходит от более нагретых тел к холодным. Переход теплоты от холодных тел к нагретым сам собой не происходит. Для этого нужно затратить дополнительную энергию.

Таким образом для полного анализа явления и процессов необходимо иметь кроме первого закона термодинамики еще дополнительную закономерность. Этим законом является второй закон термодинамики. Он устанавливает, возможен или невозможен тот или иной процесс, в каком направлении протекает процесс, когда достигается термодинамическое равновесие и при каких условиях можно получить максимальную работу.

Формулировки второго закона термодинамики.

Для существования теплового двигателя необходимы 2 источника – горячий источник и холодный источник (окружающая среда). Если тепловой двигатель работает только от одного источника то он называется вечным двигателем 2-го рода.

Энтропия есть однозначная функция состояния тела, принимающая для каждого состояния вполне определенное значение. Она является экстенсивным (зависит от массы вещества) параметром состояния и в любом термодинамическом процессе полностью определяется начальным и конечным состоянием тела и не зависит от пути протекания процесса.

Энтропию можно определить как функцию основных параметров состояния:

S = f₁(P,V) ; S = f₂(P,T) ; S = f₃(V,T) ;                                                    (3.3)

или для удельной энтропии:

s = f₁(P,υ) ; s = f₂(P,T) ; S = f₃(υ,T) ;                                                      (3.4)

Так как энтропия не зависит от вида процесса и определяется начальными и конечными состояниями рабочего тела, то находят только его изменение в данном процессе, которые можно найти по следующим уравнениям:

s = c_v·ln(T₂/T₁) + R·ln(υ ₂/υ ₁) ;                                                            (3.5)

s = c_p·ln(T₂/T₁) - R·ln(P₂/P₁) ;                                                              (3.6)

s = c_v·ln(Р₂/Р₁) + c_р·ln(υ ₂/υ ₁) .                                                           (3.7)

Если энтропия системы возрастает (s > 0), то системе подводится тепло.

Если энтропия системы уменьшается (s < 0), то системе отводится тепло.

Если энтропия системы не изменяется (s = 0, s = Const), то системе не подводится и не отводится тепло (адиабатный процесс).

Цикл и теоремы Карно

Циклом Карно называется круговой цикл, состоящий из 2-х изотермических и из 2-х адиабатных процессов. Обратимый цикл Карно в p,υ- и T,s- диаграммах показан на рис.3.1.

1-2 – обратимое адиабатное расширение при s₁=Const. Температура уменьшается от Т₁ до Т₂.

2-3 – изотермическое сжатие, отвод теплоты q₂ к холодному источнику от рабочего тела.

3-4 – обратимое адиабатное сжатие при s₂=Const. Температура повышается от Т₃ до Т₄.

4-1 – изотермическое расширение, подвод теплоты q₁ от горячего источника к рабочему телу.

Основной характеристикой любого цикла является термический коэффициент полезного действия (т.к.п.д.).

η_t = L_ц / Q_ц , (3.8)

или

η_t = (Q₁ – Q₂) / Q₁ .

Для обратимого цикла Карно т.к.п.д. определяется по формуле:

η_tк = (Т₁ – Т₂) / Т₁ . (3.9)

Отсюда следует 1-я теорема Карно:

"Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от свойств рабочего тела и определяется только температурами источников".

Из сравнения произвольного обратимого цикла и цикла Карно вытекает 2-я теорема Карно:

"Обратимый цикл Карно является наивогоднейшим циклом в заданном интервале температур"

Т.е. т.к.п.д. цикла Карно всегда больше т.к.п.д. произвольного цикла:

η_tк > η_t . (3.10)