Сглаживание временных рядов.

Анализ динамики временных рядов

Модели и методы анализа динамики экономических процессов

В повседневной жизни, работе и т.п. часто приходится сталкиваться с событиями и явлениями, результат которых трудно предугадать. Аналогичные проблемы возникают и в экономике, например, требуется составить прогноз состояния рынка сбыта, рентабельности предприятия, спроса на продукцию и т.п. Решение подобных задач базируется на методах анализа данных, которые являются методами прикладной статистики. Эти методы позволяют выявить закономерности «случайности», делать обоснованные выводы и прогнозы, давать оценки вероятностей их выполнения или неисполнения.

Процесс анализа данных вручную трудоёмок. Удобно применять статистические пакеты на ПК. При этом не только упростится процесс вычислений, но и визуализация данных в виде двух- и трёхмерных графиков и диаграмм позволит лучше предоставить обрабатываемые данные, получить представление об их особенностях и закономерностях. Для осмысленного использования полученных результатов необходимо понимать, в каких ситуациях применимы различные статистические методы, знать их свойства, уметь интерпретировать результаты.

Прогнозирование на основе трендовых моделей

Прогнозирование на основе трендовых моделей основано на идее экстраполяции, т.е. на продлении на будущее тенденций изменения экономического показателя. Это способ получить информацию о будущем на основе информации о прошлом и настоящем.

Понятие экономических рядов динамики

Последовательность наблюдений одного показателя (признака), упорядоченных в зависимости от последовательно возрастающих или убывающих значений другого показателя (признака) называется динамическим рядом (рядом динамики).

Если в качестве признака, относительно которого происходит упорядочение, берется время, то такой динамический ряд называется временным рядом.

При изучении экономических процессов чаще всего имеют дело с временными рядами, хотя их могут называть динамическими рядами.

Основные элементы временных рядов:

1) уровни ряда – цифровые значения показателя;

2) моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.

Различают моментные и интервальные временные ряды, например:

1) показатели списочной численности рабочих на 1 число каждого месяца в году образуют моментный временной ряд;

2) показатели фонда заработной платы предприятия по месяцам образуют интервальный временной ряд.

Длина временного ряда – время, прошедшее от начального до конечного момента наблюдения или количество уровней в ряду (эти значения могут отличаться).

Если во временном ряду проявляется длительная устойчивая тенденция («вековая») изменений экономического показателя, то говорят, что имеет место тренд. Т.о. тренд характеризует общее направление развития, основную тенденцию временного ряда.

Экономико-математическая модель, в которой развитие экономической системы отражается трендом, называется трендовой моделью. Трендовая модель используется при прогнозировании экономических показателей на будущее.

Этапы прогнозирования:

1. Предварительный анализ данных, включающий в себя:

· анализ динамики ВР (при необходимости);

· выявление наличия тренда;

· сглаживание ВР.

2. Формирование набора моделей (трендовых моделей).

3. Определение параметров моделей.

4. Оценка адекватности моделей.

5. Оценка точности адекватных моделей.

6. Выбор лучшей модели.

7. Получение точечного и интервального прогнозов.

8. Верификация прогноза.

Анализ временных рядов

Оцениваются:

1. Характеристики динамики.

2. Наличие тренда.

3. Наличие однородности данных и автокорреляционных свойств (отсутствие аналогичных значений).

1. Динамику изменения показателя оценивают по отношению к базисному наблюдению (обычно первое) или величиной изменения соседних уровней. В этой связи различают базисные и цепные характеристики. В качестве статистических характеристик временного ряда y₁, …, y_n используется ряд величин (табл. 1).

№	Характеристика ряда	Расчётная формула	Качественная характеристика показателя
1	Абсолютный базисный прирост		Величина изменения показателя за некоторый интервал времени (характеризующий скорость развития явления во времени)
2	Абсолютный цепной прирост
3	Базисный коэффициент роста		ki < 1 – уровень понижается, ki > 1 – уровень повышается, ki = 1 – остаётся постоянным относительно y1 или предыдущего значения
4	Цепной коэффициент роста
5	Базисный коэффициент прироста		Относительно базового периода
6	Цепной коэффициент прироста		Относительно предыдущего периода
7	Темп роста		в %
8	Темп прироста		в %
9	Средний уровень ряда		Среднее значение
10	Средний абсолютный прирост
11	Средний темп роста
12	Средний темп прироста

       Для определения наличия тренда может быть использовано несколько методов. Рассмотрим метод проверки разностей средних уровней. В этом методе 4 этапа:

I. Временный ряд разбивается на 2 приблизительно равные части: n₁ + n₂ = n.

II. Для каждого ряда вычисляются средние значения и дисперсии:

,

,

III. Проверка равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера.

Рассчитываем значение критерия:

или

и сравниваем с табличным значением критерия Фишера  с заданным уровнем значимости  (уровнем ошибки). В качестве  чаще всего берут 0,1 (10% ошибки), 0,05 (5% - наличие ошибки), 0,01 (1% ошибки).

Если , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается, переходим к этапу IV, если  - гипотеза откланяется, вывод: данный метод определения наличия тренда ответа не даёт.

Проверка гипотезы об отсутствии тренда с помощью t-критерия Стьюдента.

Рассчитываем значение критерия Стьюдента:

 , r – среднеквадратичное отклонение.

.

Если c заданным уровнем значения , то гипотеза принимается, т.е. тренда нет,  - тренд есть (  берется из таблицы для числа степеней свободы, равного .

Данный метод применим для рядов с монотонной тенденцией.

Значение критерия Ирвина для уровня значимости α = 0,05, т.е. с 5% ошибкой (с доверительной вероятностью 0,05) приведено в таблице:

Большими возможностями обладает метод Фостера - Стьюарта. Если оба метода дали противоречивые результаты, то предпочтение следует отдать это методу. Кроме тренда самого ряда (говорят, тренд в среднем), он позволяет установить наличие тренда дисперсии ВР: если тренда дисперсии нет, то разброс уровня ряда постоянен; если дисперсия увеличивается, то ряд «раскачивается».

4 этапа:

I. Каждый уровень  сравнивается со всеми предыдущими и определяются две числовые последовательности:

для .

II. Вычисляются величины

Заметим, что величина S характеризует характер изменения ВР и может принимать значение от 0 (все уровни ряда равны между собой) до n – 1 (ряд монотонно возрастающий или убывающий).

       1)                                       2)                                       3)

Величина d характеризует изменение дисперсионных уровней ВР и  При  – ряд монотонно убывающий (3), при d = n -1 – монотонно возрастающий (2).

III. Проверяются гипотезы:

1. Можно ли считать случайным отклонение величины Sотмат ожидания  величины S для ряда, в котором уровни расположены случайным образом.

2. Можно ли считать случайным отклонение d от 0. Это проверка. Вычисляются расчетные значения t-критерия Стьюдента для средней и дисперсии.

 – среднеквадратичное отклонение для величин S и d. Можно пользоваться табличными данными:

n	10	20	30	40
r	3.858	5.195	5.990	6.557
	1.283	1.677	1.882	2.019
	1.964	2.279	2.447	2.561

IV. Рассчитанные значения  и  сравнивают с табличными значениями t – критерия Стьюдента с заданным уравнением значимости .

Если , то гипотеза 1) применяется, тренд в среднем отсутствует.

Если , то гипотеза 2) применяется, тренд дисперсии отсутствует.

Иначе тренд есть.

       Проверка однородности данных (отсутствия аномальных явлений) и автокорреляционных свойств.

       Под аномальным уровнем понимают отельное значение уровня ВР, который не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы.

       Для выявления аномальных уровней стоит использовать метод Ирвина.

       Пусть:  – временной ряд, состоящий из n уровней.

1. По методу Ирвина вычисляются значения  по формулам:

2. Значения сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина  и таблицей 6 (Шелобаев стр. 152), если расчётные больше соответствующих табличных ( , то соответственно значение  уровня ряда считается аномальной.

Для аномального уровня должна быть выявлена причина появления. Аномальные уровни либо устраняются; либо заменяются на среднеарифметическое двух соседних уровней; либо заменяются на значение по кривой, аппроксимирующей этот ряд. Методы нахождения этой кривой, т.е. построения трендовой модели, будут рассмотрены далее. (Тренд – устойчивое изменение показателя, детерминирующая компонента среди соответствующих слагаемых ряда.)

Сглаживание временных рядов.

       С целью более четко выявить тенденцию развития исследуемого процесса, в том числе перед применением методов прогнозирования, производят сглаживание (выравнивание) ВР.

       2 основных группы методов сглаживания:

1. Аналитическое выравнивание. Строится кривая, отображающая тенденцию, присущую ряду; освобождается ряд от незначительных колебаний. (трендовые модели на основе кривых роста)

2. Механическое выравнивание, которое использует значения соседних уровней. Это могут быть методы:

· простой скользящей средней

· взвешенной скользящей средней

· метод экспоненциального сглаживания

Метод простой скользящей средней. Выбирают интервал сглаживания m<n. Если нужно сгладить мелкие беспорядочные колебания, то m выбирают достаточно большим и уменьшенным, если мелкие колебания нужно сохранить. Рекомендуется брать m - нечетным.

Для первых m уровня ряда вычисляются их среднее, оно принимается за сглаженное значение уровня ряда, находящееся в середине интервала. Интервал сглаживает сдвиг на один уровень вправо и т.д.

Пусть  – половина интервала сглаживания.

Тогда

В результате получится  сглаженное значение уровня ряда. При этом р первых и р последних уровня ряда теряются, не сглаживаются.

Метод экспоненциального сглаживания. Используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес уровня уменьшается по мере удаления от него.

Пусть

Здесь  – параметр сглаживания

 – коэффициент дисконтирования.

Из соотношения (*) можем получить формулу от начального значения .

Выбор  может быть     1.

                                          2.  и др.

При обработке экономических ВР рекомендуется выбирать . Есть рекомендации Р.Браун (Федосеев, стр.156).

 – от величины сглаживания ряда.

Если при подходе к правому концу сглаженные этим методом значения значительно отличаются от соответствующих значений исходного ряда, то нужно выбрать другую α. При этом методе не требуются начальные и конечные ВР.

Пример на метод скользящей средней.

Пусть

1)    t = p+1 = 3

       t-p = 3-2 = 1         

       t+p = p+2 = 5

2)    t = p+2 = 4

       t-p = 4-2 = 2          Пусть n=6

       t+p = 4+2 = 6