Диференціальна функція розподілу та її властивості.

Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:

ВЛАСТИВОСТІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ФУНКЦІЇ.

1.Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто .

Доведення:

2.Теорема .(основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ X прийме значення із деякого проміжка (a;b) знаходиться за формулою:

2.Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням:

Доведення:

3.Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд:

Доведення:

Числові характеристики НВВ Х визначаються наступними формулами (якщо збігаються відповідні невласні інтеграли):

 ,

 ,

 .

Доведення:

Центральна гранична теорема. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа та її окремі випадки.

Центральна гранична теорема-якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при  необмежено наближається до нормального.

                   Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ X=m - частоти появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедлива наближена формула:

 ,

де Ф(t) - інтегральна функція Лапласа,  

Доведення:

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти m та частості m/n появи події A з імовірністю p в серії із n НПВ справедливі наближені формули:

 ,