Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторнитх випробувань.

Класичне означення імовірності. Властивості імовірності. Теорема добутку імовірностей та наслідки з неї.

Імовірність події A дорівнює: P(A)= m/n

деn - число (кількість) подій у просторі елементарних подій,

а m - число наслідків (із простору елементарних подій), які сприяють появі події A.

Властивості:

1. Для довільної події A:  ;

2.Для достовірної події U:P(U)=1 

3.Для неможливої події V: P(V)=0.

 Теорема (добутку імовірностей). Імовірність добутку двох подій A і B дорівнює добутку імовірності однієї з них на умовну імовірність іншої, при умові, що настала перша подія:

.

Доведення. Нехай n - кількість подій (елементарних наслідків) у просторі елементарних подій, з яких

 k подій сприяють появі AB, m - сприяють появі A, а L - сприяють появі B

За класичним означенням імовірності:

.

Аналогічно доводиться, що P(ABC)=P(A)*Pa(B)*Pa(B).

Наслідок 1 (формули визначення умовних імовірностей). Якщо імовірності подій відмінні від нуля, то

.

Зауважимо, що теорема добутку справедлива навіть у випадку нульових імовірностей подій

Наслідок 2. Якщо подія A не залежить від події B, то і навпаки, подія B не залежить від події A, тобто вони взаємно незалежні.

Доведення:

Наслідок 3. Із незалежності подій A і B випливає незалежність пар подій :  і ,  і ,  і .

Наслідок 4. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку їх імовірностей:

P(AB)=P(A)*P(B)

Доведення:

Теорема суми імовірностей та наслідки з неї.

Теорема. Імовірність суми двох подій A і B дорівнює сумі імовірностей цих подій без імовірності їх добутку. Іншими словами, імовірність появи хоча б однієї із двох подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності їх сумісної появи:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Доведення:

= P (A) + P (B)-P(AB)

Наслідок 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей: P(A+B)=P(A)+P(B).

Наслідок 2. Сума імовірностей подій A1, А2,.....,Аn, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

P (A1)+P(A2)+….+P(An)=1

Доведення:

Наслідок 3. Для взаємно протилежних подій A і

.

Доведення випливає із попереднього наслідка 2.

Наслідок4. Імовірність появи хоча б однієї із подій A1,A2,…..,An дорівнює: .

Зокрема, якщо події незалежні в сукупності, то:

.

Доведення:

Теорема (формула повної імовірності) та формули Байєса

Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Тоді імовірність (повна імовірність) події A дорівнює:

тобто сумі добутків імовірностей гіпотез на умовні ймовірності події, при умові, що настала відповідна гіпотеза

Доведення:                                                                                

Формули Байєса.

Теорема. Нехай подія A може настати лише сумісно з хоча б однією із подій-гіпотез H1, H2….Hn , які утворюють повну групу. Якщо подія A настала, то умовні (уточнені) імовірності гіпотез дорівнюють:

,

i=1,2,…….,n

де повна імовірність

Доведення:

Зазначимо, що виконуються усі умови теореми – формули повної ймовірності. Розглянемо одну із подій AHi

і скористуємось теоремою добутку:

P(AHi)=P(A)Pa(Hi)=P(Hi)Phi(A).

Звідси:

,

де P(A) - повна імовірність.

Математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення частоти та відносної частоти в схемі незалежних повторнитх випробувань.

Знайдемо числові характеристики біноміально розподіленої ДВВ X=m. Розглянемо випадкові величини Xi=mi, i=1,2,…,n - частоту появи події A у i -тому випробуванні. Закони розподілу усіх цих ВВ однакові і мають вигляд:

Неважко переконатись, що числові характеристики цих ВВ:

M(mi)=p, D(mi)=p-p^2=p(1-p)=pq.

Враховуючи, що , за властивостями математичного сподівання та дисперсії дістанемо: , , звідки .

Означення. Найімовірнішою частотою  (або модою) появи події A у n НПВ називають частоту, для якої .

                   За означенням із системи умов

неважко дістати подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти:

.

ВВ X=m/n - частість (частка, відносна частота) появи події A у n НПВ також підкоряється біноміальному закону розподілу з числовими характеристиками M(m/n)=p, D(m/n)=pq/n .

Відзначимо, що при достатньо великій кількості випробувань n найімовірніша частота m0 приблизно дорівнює np, а найімовірніша частість приблизно дорівнює імовірності p появи події у кожному окремому випробуванні.                    Зауважимо також, що біноміальний розподіл при збільшенні кількості НПВ досить швидко наближається до нормального.