Математичне сподівання дискретної випадкової величини та її властивості. Довести три з них.

Математичним сподіванням (середнім значенням або центром розподілу) ДВВ X називається сума добутків всіх її значень на відповідні ймовірності, тобто .

ВЛАСТИВОСТІ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ.

1.МС сталої ВВ дорівнює самій цій сталій: M(c)=c

Доведення:

2. Сталий множник виноситься за знак МС: M(cX)=cM(X)

Доведення:

 3.МС суми ВВ дорівнює сумі їх МС: M(X+Y)=M(X)+M(Y)

Наслідок. МС різниці ВВ дорівнює різниці їх МС: M(X-Y)=M(X)-M(Y)

4. МС добутку (незалежних) ВВ дорівнює добутку їх МС: M (XY)=M(X)M(Y).

5.МС центрованої ВВ X-M(X) дорівнює нулю:M[X-M(X)]=0.

Доведення:

Дисперсія дискретної випадкової величини та її властивості. Довести три з них.

Дисперсією ДВВназивається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:

.

Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС.

ВЛАСТИВОСТІ ДИСПЕРСІЇ.

1.Дисперсію можна знаходити за формулою: .

Доведення:

2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C)=0

Доведення. D(c)= за власт. МС = c^2-c^2=0

3. Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: D(cX)=c^2D(X).

Доведення. D(cX)= за 1 власт.= M[(cx)  – M [cx]= за вл. МС=

4. Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: D(X-Y)=D(X)+D(Y)

Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ X-M(X)співпадає із дисперсією самої ВВ X, а дисперсія стандартизованої ВВ  дорівнює одиниці.

5. Якщо ВВ X та Y залежні, то: , де  -  коваріація між ВВ X та Y.

6. Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює:

D(XY)=M(X^2)M(Y^2)-M^2(X)M^2(Y).

7. Дисперсія середнього арифметичного незалежних ВВ дорівнює:

.

Важливий висновок: при вимірюваннях (дослідженнях) в якості остаточного результату беруть середньоарифметичну усіх результатів. При цьому похибки від точного значення зменшуються на к-сть результата.

Інтегральна функція розподілу та її властивості.

Означення. Інтегральною функцією розподілу F(x)ВВ x називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа x, тобто

.

                   Ця функція повністю характеризує ВВ з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу

 ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ.

1.Значення функції належать проміжку [0.1], тобто  , причому .

Доведення:

2.Функція є неспадною, тобто

Доведення:

Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :

.

3.Імовірність того, що НВВ Х прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто P(X=x1)=0

Доведення:

Наслідок . Для НВВ  справедливі рівності: