Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ – анализ изменчивости признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов.

Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.

Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок (групп), полученных из нормальных совокупностей , которые имеют, вообще говоря, различные средние значения a_1,a_2,…,a_l  и равные дисперсии .Соответственно объемы выборок n₁, n₂, …, n_l, - общее число наблюдений. Проверяется гипотеза Н₀: a₁=a₂=…=a_l.

Для l = 2 используются рассмотренные ранее критерии значимости.

Если l > 2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный аналіз.

Суть однофакторного дисперсионного анализа заключается в следующем:

обозначим x_ik - i-й элемент k-ой выборки , ,                                                            - выборочное среднее k-ой выборки , ,

- общее выборочное среднее, .

Основное тождество дисперсионного анализа записывается так:

Запишем его в виде:

                             Q= Q₁+Q₂ ,                                                                      

где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,

Q₁- сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего,

Q₂- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних,

                        Q ³ 0 , Q₁ ³ 0, Q₂ ³ 0

Рассматривается статистика ,                          

имеет распределение Фишера с (l-1)(n-l) степенями свободы.

Если выполняется неравенство ,                                                     

то Н₀ гипотеза принимается на уровне значимости .

Двухфакторный дисперсионный анализ.

Одной из используемых моделей данных в дисперсионном анализе является двухфакторная модель. Она состоит в учёте систематических и случайных ошибок в определении измеряемых параметров.

Пусть с помощью методов производится измерение нескольких параметров, чьи точные значения — . В таком случае, результаты измерений различных величин различными методами можно представить как:

,

где:

· — результат измерения -го параметра по методу ;

· — точное значение -го параметра;

· — систематическая ошибка измерения -го параметра по методу ;

· — случайная ошибка измерения -го параметра по методу .

Тогда дисперсии случайных величин , , , (где:

  ) выражаются как:

и удовлетворяют тождеству:

Двухфакторная схема позволяет лишь обнаружить систематические расхождения, но непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях.

[1] Выборочное среднее, кроме того, можно вычислить еще по формуле:  где

[2] Стьюдент (Student) [псевдоним Уильяма Сили Госсета (Gosset W.S., 1876–1937)] ― английский математик и статистик.

[3] Пирсон Карл (Чарлз) [Pearson Karl (Cyarles), 1857–1936] ― английский математик, биолог и философ.

[4] Например, для нормального распределения ― два параметра: математическое ожидание  и среднее квадратическое отклонение