Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Формула полной вероятности и формула Байеса.Стр 1 из 3Следующая ⇒
Классическое и статистическое определение вероятности. Основным понятием ТВ является событие. Событие – это есть всякий факт или явление, которое может произойти в данном эксперименте или при данных условиях. Все явления рассматриваются в двух условиях: 1. детерминированные 2. стохастические события бывают: 1) достоверные, которые в данных условиях или эксперименте обязательно наступают; 2) невозможное, которое в данных условиях произойти не может; 3) случайное, которое может произойти, а может не произойти. Обозначают буквами А и В. Событие А и В называют совместными если наступление одного не исключает появление другого. А и В несовместные если появление одного из них исключает возможное появление другого. Событии бывают А и (не А). Равновозможные, когда нет оснований предполагать, что одно из них произойдет более вероятно, чем другое. Единственновозможные (А – «5», В – «4», С – «3», Д – «2», Е – н/я) такие события образуют полную группу событий: равновозможные, попарно несовместные. А или В = А+В=С – произойдет А или В или А и В вместе. АUВ =С А и В = АUВ =А*В =С Р(А)= классическая вероятность события А = , где n – это число. 0<= P <=1 Классическое определение вероятности имеет свои недостатки: n и m бывает определить трудно, а иногда невозможно, поэтому идут по другому пути. Статистическое определение вероятности. Пусть мы проведем многократно некоторый эксперимент и связанное с ним событие А и наблюдаем. Произошло А, то +, нет - . проводим его n раз, где m – количество раз появления А. На численном эксперименте при большом n показываем, что это отношение в каждом конкретном случае колеблется возле какого-то числа. W(A)= называют относительной частотой события А и в реальных задачах эту частоту принимают за вероятность. W(A)= Р(А) События бывают зависимые и независимые. А и В называют независимыми если вероятность одного из них не зависит от наступления другого. А и В называют зависимыми если вероятность одного зависит от наступления или ненаступления другого. Для зависимых событий вводят понятие условной вероятности. или Р(А/В)
Теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. Вероятность наступления события А или В, т.е. вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий если события несовместные. 2. Если события совместные, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) 3. Вероятность событий А и В = Р(АВ)=Р(А)*Р(В) для независимых. 4. вероятность событий А и В =Р(А) (В)=Р(В)* для зависимых событий. 5. Р(А)+Р( )=1 Р(А)=Р, Р( )= 1-р=q Примеры.Произвели 3выстрела. Определить событие В состоит в том, что ровно одно попадание. А1 – попал 1 – не попал А2 2 А3 3 В= А1 2 3 + 1 А2 3 + 1 2 А3 Определить событие С не менее двух попаданий С= А1 А2 3 + 1 А2 А3 + А1 2 А3 + А1 А2 А3 Пример 2. В книге 185 стр. какова вероятность, что случайно открытая страница имеет порядок заканчивающийся на 2. А – открыли n=185 А= = m=19 пример 3. Вероятность поломки станка по вине рабочего = 0,04; а вероятность поломки без рабочего = 0,06. Какова вероятность поломки А – по вине В – сам по себе С = А+В = 0,04+0,06=1
Элементы комбинаторики. 1. Перестановки – это комбинации, которые состоят из одних и тех же элементов и отличаются только порядком их расположения. =n!=1*2*3…n 1, 2, 3 =3!=1*2*3=6 2*1*3=6 3*2*1=6 6 1*3*2=6 2*3*1=6 3*1*2=6
2. Размещение – это комбинации, составленные из n разных элементов по m в каждом, отличающиеся или составом элементов или их порядком. n=3 m=2 A 1, 2 2, 1 1, 3 6 3, 1 2, 3 3, 2 3. Сочетания – это комбинации составленные из n разных элементов по m в каждом, отличающиеся хотя бы одним элементом.
Пример 1. В конкурсе принимают участие 5 студентов. Порядок их выступления определяется жеребьевкой. Сколько существует вариантов порядка их выступления. 5!=120 Пример 2. Расписание занятий 1-го дня состоит из трех пар. Определить количество вариантов расписания при выборе из 10 дисциплин. Пример 3. В шахматном турнире участвуют 20 человек. Сколько партий они сыграют, если между 2-мя участниками должна сыграться 1 партия. Пример 4. Монету бросили 2 раза. Какова вероятность, что хотя бы 1 раз появится герб. Герб-герб Герб – решка Решка – решка вероятность 3/4 Решка – герб Пример 5. В коробке 6 пронумерованных кубиков. На удачу достают по 1 кубику. Какова вероятность, что они будут попадаться в порядке возрастания. n=6! m=1 = Пример 6. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами от 101 до 120 и произвольно расположенные. На удачу достают 2 перфокарты. Какова вероятность, что эти карты будут с номерами 101 и 120. n=20 m=2 Р= пример 7. В ящике 15 деталей, 10 из них окрашены. На удачу достают 3. Какова вероятность, что они будут окрашены. n=15= m=10= Пример 8. В ящике 100 деталей, 10 из них бракованные. Достаем 4. Какова вероятность, что среди них нет: а) браков; б) годных n= m=
а) б) Пример 9. Вероятность сдачи экзамена на «5»=0,3; «4»=0,45; «2»=0,1; «н\я»=0,05. Какова вероятность, что студент получит положительную оценку. 1-(0,3+0,45+0,1+0,05)=0,1 Р(А) = 0,3+0,45+0,1=0,85 Пример 10. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для 1-го стрелка=0,8 для 2-го =0,9. Найти вероятность того, что: а)оба попадут в мишень; б)только первый; в)только второй; г)один стрелок попадет; д)никто не попадет; е)хотя бы один попадет. А-первый В-второй А=0,8 В=0,9 =0,2 =0,1 Несовместные, независимые а)А*В=0,8*0,9=0,72 б)А и =0,8*0,1=0,08 в) и В=0,2*0,9=0,18 г) *В или *А=Р(А )+Р( В)=(0,8*0,1)+(0,2*0,9)=0,08+0,18=0,26 д) и =0,2*0,1=0,02 е)1-0,02=0,98 Пример 11. Для некоторой местности среднее количество ясных дней в июле 25. Какова вероятность, что первые 2 дня будут ясные. Р(А)= что второй день ясный – В т. к. один день уже убрали Р(АВ)=Р(А)*Р(В)= Пример 12. Вероятность того, что событие появится хотя бы 1 раз в трех независимых испытаниях=0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании. Р(А)= q=1-p Да=p нет=q (куб-количество испытаний) 0,936= q=0,4 p=1- q=0,6
Формула полной вероятности и формула Байеса. Рассмотрим такую схему: пусть событие А наступает если произойдет одно из событий Н , … составляющие полную группу событий. Известно, Р(Н ), Р( )….Р( ). Известны условные вероятности , …. . Как найти вероятность события А. Р(А)=? Т. Вероятность события Р(А)= Р(Н ) + Р( ) +…+Р( ) По условию Р(А) может наступить при АН1 или АН2…..АНn. Р(Н ), Р( ) или Р( ) несовместны, поэтому несовместны и АН1, АН2…..АНn. Поэтому Р(А)=Р(АН1)+ Р(АН2)+….+Р(АНn)= Р(Н ) + +Р( ) +…+Р( ) А и Н , попарно зависимы. Пример1. В цехе 3 типа станков автоматов, на которых производятся детали. Производительность их одинакова, но качество работы разное. Известно, что станки 1 типа производят 94% деталей отличного качества, 2-90%, 3 – 85%. Все детали сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая деталь окажется отличного качества, если 1 типа – 5 шт., 2 типа – 3 шт., 3 типа – 2 шт. пусть А – деталь стандартная изготовили: 1 станок Н 2 станок 3 станок Н3 Р(Н )= Р( )= Р(Н3)= =0,94 =0,9 =0,85 Р(А)= Р(Н ) + +Р( ) +Р(Н3)* * =1/2*0,94+3/10*0,9+1/5*0,85=0,91 Правило Байеса. Имеется полная группа событий, известны их вероятности. Производится опыт в результате появления события А. какие вероятности имеют события в связи с появлением события А. другими словами, вероятность Р( )= Пример 1. Изделие проверено на стандарт 2-мя товароведами. Вероятность того, что изделие попадет 1-му=0,55 второму = 0,45. вероятность того, что изделие будет стандартным, если его проверил 1-ый=0,9 второй 0,98. После проверки изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что его проверил 2-ой. Н - первый товаровед Р(Н )=0,55 - второй товаровед Р( )=0,45 =0,9 =0,98 Пример 2. В партии 600 лампочек. 200 изготовлены на 1 заводе, 250 на 2, 150 на 3. Вероятность того, что лампочки стандартные изготовлены 1=0,97; 2=0,91; 3=0,93. Взята 1 лампочка, которая оказалась стандартной. Какова вероятность, что она выполнена на 1 заводе. - первый завод 200/600=1/3 - второй завод 250/600 - третий завод 150/600 =0,97 =0,91 =0,93 - ? = Локальная теорема Лапласа. При достаточно больших m и n пользоваться формулой Лапласа сложно. Теорема Лапласа позволяет найти приближенные значения вероятности того, что событие произойдет m раз при n. , где при этом Ее значения находят по таблице (стр. 99) Свойства: 1) четная 2) max x=0 3) при x>3 |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-05-27; просмотров: 177. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |