Проблема альтернативных математик, как пробный камень для сильной программы.

Освальд Шпенглер написал в начале 20 века «Закат Европы». В ней он говорит о том, что математик много. В каждой культуре была своя математика. Только наш способ смотреть на это не позволяет нам замечать этого. Есть ли альтернативность между античной и современной математикой? Кажется, что нет. Мы можем изложить труды древних греков так, чтобы вписать это в современную математику. Но здесь все сильно зависит от нашей интерпретации. Если пытаться рассматривать альтернативную математику как то, что в нее объединяли древние исследователи, то в древнегреческую математику полагается включить музыку, оптику и т. д., что недопустимо.

Есть проблемы и другого рода: все альтернативные математики либо быстро забываются, либо включаются в классическую математику. Классический пример: неевклидова геометрия. На момент ее появления это был реальный вызов обычной математике, альтернатива. Она активно отторгалась, пока не была интерпретирована как часть классической теории (см. труды Кляйна). Другой пример 15-го века: Николай Кузанский. Он очень интересно оперирует бесконечностью. Все фигуры на бесконечности у него совпадают (бесконечноугольник = бесконечному кругу). Но эта теория никак не развивалась, стала тупиковой. Третий пример: в начале 20-го века возникла интуиционистская математика (Брауэр), практически несовместимая с обычной математикой. С точки зрения интуициониста нет метода от противного. Обратно, для классического математика все должно быть четко записано. Для Брауэра это некие ментальные конструкции. Уже его учениками делается попытка формализации интуиционистской логики (шаг в сторону классики), что, в конце концов, приводит к включению этой логики в математику. Последний пример: европейская математика, приходя в другие страны, вытесняла местную традиционную математику (пример с японской математикой). Альтернативы математики не получают развития, отдельного от классической математики. Но мы плохо знаем историю и не можем предугадать будущее, поэтому сказать, что альтернативной математики не было, нет, и не будет, – нельзя.