Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом (рис1)

Угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным.(рис 2)

2.

           Билет 11

1.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

рисунок 1

m — серединныйперпендикуляр к отрезку AB, если

точка C — серединаотрезка AB,

2.

Билет 12

1.

2.

3.

3.

Задача 4

Окружность про­хо­дит через вер­ши­ны А и С тре­уголь­ни­ка АВС и пе­ре­се­ка­ет его сто­ро­ны АВ и ВС в точ­ках К и Есоответственно. От­рез­ки АЕ и СК перпендикулярны. Най­ди­те ∠КСВ, если ∠АВС = 20°.

Решение

Углы АКС и АЕС равны, т. к. опи­ра­ют­ся на одну дугу окружности; следовательно, ∠ВКС = ∠ВЕА, как смеж­ные с ними. Из четырёхугольника ВКDЕ: ∠КВС =1/2( 360 – 90 – 20 ) = 125 Из треуг.ВКС: ∠КСВ = 180° − 125° − 20° = 35°.

Ответ: 35°.

1                                            Билет 13

Свойство углов четырехугольника вписанного в окружность.

Если все вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то он называется вписанным четырехугольником.

Свойства вписанного четырехугольника

1.Суммы его противоположных углов равны .AB +CD = BC+AD

2.Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.AC * BD = AB*CD + AD*BC

3.Серединные перпендикуляры к сторонам четырехугольника пересекаются в центре описанной окружности.

2.

3

4. Биссектрисы углов A и B па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Най­ди­те пло­щадь параллелограмма, если BC = 19, а рас­сто­я­ние от точки K до сто­ро­ны AB равно 7.

Решение.

Проведём через точку пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис высоту. Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки АНК и АК№ они прямоугольные, углы НАК и КА№ равны, сто­ро­на АК — общая, следовательно, тре­уголь­ни­ки равны, от­ку­да К№ =КН=7 Аналогично, равны тре­уголь­ни­ки ВКH и ВКМ от­ку­да МК=КН =7 Найдём пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма как про­из­ве­де­ние ос­но­ва­ния на высоту:S= АД*М№ = АД *(№К + МК) = 19 * 14 = 266        

Ответ: 266.

           Билет 14

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.рис 61

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.(рис 61)

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.(рис 62)

Т. 1. 28. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, см (рис. 63, б).

2

                   Билет 15

1

2.