В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Билет №1

Вопрос 1. Многоугольник

Определение 1. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной - сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины ломаной, называются диагоналями.
Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами называется n-угольником. Плоским многоугольником или многоугольной областью называется часть плоскости, ограниченная многоугольником. При этом считается, что стороны многоугольника не принадлежат плоскому многоугольнику.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.
При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине.
Сумма длин всех сторон многоугольника составляет его периметр.
Теорема 1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°•(n - 2) градусов.

2.

Билет 2

1. Параллелограмм

Параллелограмм — это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны являются попарно параллельными.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны и углы равны

Диагонали точкой пересеченияделятся пополам

2.Теорема

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Доказать:

Доказательство:

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.Тогда MN — средняя линия треугольника AOB и

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

4) Имеем:

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

Таким образом,

из чего следует, что

Билет 3

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые

Свойства прямоугольника: ▸Теже, чтоиупараллелограмма: ∼Противоположныестороныпопарно равны; ∼Диагоналиточкойпересеченияделятсяпополам; ∼Противоположныеуглыпопарноравны, асуммасоседнихравна 180∘; ▸Диагоналиравны; ▸Всеуглыпрямые. ПлощадьпрямоугольникаПлощадьпрямоугольникаравнапроизведениюдвухегосмежныхсторон.

2.Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º

Доказать:

Доказательство:

Пусть BC=a, AC=b, AB=c.

На гипотенузе AB построим квадрат со стороной c.На продолжении стороны AC отложим отрезок AF, AF=a,на продолжении стороны BC — отрезок BK, BK=b.

CF=AF+AC=a+b, CK=BC+BK=a+b, тоесть CF=CK=a+b.

Через точки F и K проведём прямые, параллельные катетам:

Четырёхугольник CFPK — параллелограмм (по определению).

А так как ∠C=90º и CF=CK, то CFPK — квадрат со стороной a+b.

Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то

С другой стороны, площадь CFPK равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами b и c и квадрата со стороной c.

Площадь прямоугольного треугольника равны половине произведения его катетов:

площадь квадрата со стороной c равна c².

Следовательно,

Приравняем правые части формул площади CFPK: Имеем:

После упрощения получаем то есть, Что и требовалось доказать.

                                                    Билет 4

1.Ромб — это параллелограмм, все стороны которого равны.

Свойства ромба:Теже, чтоиупараллелограмма: ∼Противоположныестороныпопарно равны; ∼Диагоналиточкойпересеченияделятсяпополам; ∼Противоположныеуглыпопарноравны, асуммасоседнихравна 180∘;