Диагонали ромба перпендикулярны.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

2. Опре­де­ле­ние

Угол, вер­ши­на ко­то­ро­го лежит на окруж­но­сти, а сто­ро­ны пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным.

Рис. 3

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, вер­ши­на А лежит на окруж­но­сти, сто­ро­ны АВ и АС угла пе­ре­се­ка­ют окруж­ность в точ­ках В и С, угол на­зы­ва­ет­ся впи­сан­ным. Он опи­ра­ет­ся на дугу , эта дуга рас­по­ло­же­на внут­ри угла (см. Рис. 3).

2. Теорема о вписанном угле

Впи­сан­ный угол из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся

До­ка­за­тель­ство:

До­ка­за­тель­ство сво­дит­ся к преды­ду­ще­му слу­чаю. Про­ве­дем диа­метр AD, обо­зна­чим угол за и тогда дуга равна (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Угол за , тогда дуга равна (объ­яс­не­ние см. слу­чай 1). Вся дуга равна:

Угол в свою оче­редь, равен .

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что впи­сан­ный угол равен по­ло­вине дуги, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся.

Следствия теоремы о вписанном угле

След­ствие 1:

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

След­ствие 2

Впи­сан­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на диа­метр, пря­мые

                                               Билет 5

Трапеция –четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

Виды трапеции: равнобедренная и прямоугольная

свойства равнобедренной трапеции: 1).у равнобедренной трапеции боковые стороны равны

У равнобедренной трапеции углы при основании равны

Рассмотрим, какими свойствами обладают отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки.

Теорема.

(Свойство касательных, проведенных из одной точки)

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Дано: окружность (O;R),

AB и AC — касательные к окружности (O;R),

B, C — точки касания.

Доказать: AB=AC, ∠BAO=∠CAO.

Доказательство:

(как радиусы, проведенные в точку касания).

Следовательно, треугольники ABO и ACO — прямоугольные. У них

1) катеты OB=OC (как радиусы)

2) гипотенуза OA — общая сторона.

Значит, ∆ ABO=∆ ACO (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AB=ACи соответствующих углов:∠BAO=∠CAO.

Что и требовалось доказать.

                    Билет 6

1.

1-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3-й признак подобия треугольников

( подобие треугольников по трём сторонам)

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Есть еще 4-й признак подобия треугольников —

( подобие треугольников по двум сторонам и наибольшему углу)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а наибольший угол одного равен наибольшему углу другого, то такие треугольники подобны.

2.

Билет 7

1.

2.

Билет 8

1.

2.

Билет 9

1.

2.

           Билет 10

1. Центральный угол, вписанный угол.