Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e^-iωt=e^-i(E/ħ)t, так что Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e^-i(E/ħ)t, где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ²/2m)ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ=iħ(∂Ψ/∂t), где ħ=h/(2π), m –масса частицы, i-мнимая единица, U-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется

Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂²Ψ/∂x²+∂²Ψ/∂y²+∂²Ψ/∂z²), Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция частицы) получим:

разделив на общий множитель e^-i(E/ħ)t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ

Δψ+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ .

Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Квантование энергии. Плотность вероятности для различных энергетических уровней.

Проведем качественный анализ решений уравнений Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида(частица движется вдоль оси х):

   ì∞,x<0    где l-ширина ямы, а энергия

U(x)í0,0≤x≤l        отсчитывается от ее дна

   î∞,x>1

Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде: (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0. По условию задачи частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами равна 0. На границах ямы вероятность тоже обращается в 0. Следовательно, граничные условия имеют вид ψ(0)=ψ(l)=0. В пределах ямы(0≤х≤l) ур-ние Ш сведется к (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)Eψ=0 или (∂²ψ/∂x²)+k²ψ=0, где k²=2mE/ħ².

Общее решение диф.ур-ния ψ(x)=Asinkx+BcosKx. Т.к. ψ(0)=0, то В=0. Тогда ψ(x)=Asinkx. Условие ψ(l)=Asinkl=0 выполняется только при kl=nπ, где n –целые числа, т.е. необходимо чтобы k=nπ/l

Из всего этого следует что E_n=(n²π²ħ²)/(2ml²) (n=1,2,3…)

Т.е. стационарное уравнение Ш, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа n.