Линейные однородные дифференциальные уравнения 1 -го порядка;.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Это – уравнения вида (3.9) Линейным оно называется потому, что и неизвестная функция , и её производная входят в это уравнение линейно (в первой степени) - аналогично тому, как входят и в линейную функцию . А добавка «однородное» связана с тем, что правая часть уравнения (3.9) представляет собой нуль. Если же там будет не нуль, то такое уравнение будет называться линейным неоднородным (его решению посвящён следующий пункт 5). Уравнение (3.9) является заодно и уравнением с разделяющимся переменными вида (3.3) при и . Из этого следует схема его решения: 1) . Таким образом, одно частное решение уравнения (3.9) (тривиальное решение) мы уже имеем: это функция . 2) Найдем общее решение уравнения (3.9): | разделяем переменные и | | интегрируем обе части | (3.10) Итак, общее решение уравнения (3.9) имеет вид , где - одно из частных решений этого уравнения (оно выделяется из общего решения, если положить в нем С=1). Заметим, что и тривиальное решение уравнения (3.9) содержится в его общем решении (получается из него при С=0). Таким образом, в общем решении (3.11) Линейного однородного дифференциального уравнения (3.9) содержатся все его частные решения. Структура (3.11) общего решения уравнения (3.9) показывает, что достаточно найти какое – либо частное решение Этого уравнения. После этого по формуле (3.11) можно записать и его общее решение.

Однородные дифференциальные уравнения (корни характеристического уравнения действительные и различные).

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y'' + py' + qy = 0,

где p и q - постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность - нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k² + pq + q = 0,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём.

Корни характеристического уравнения - действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 1. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и - вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.